带有Stoodley变利息风险模型最终破产概率上界的研究

王芝皓, 吴黎军

(新疆大学 数学与系统科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046)

在经典的风险模型[1]中,保险人在时刻t的盈余过程可表示为

U(t)=u+ct-S(t)

(1)

Ψ(u)≤e-Ru

(2)

这是我们熟知的Lundberg不等式[1],其中R称为调节系数.

在(1)式的基础上考虑带有常利息力δ的现值风险模型[2],记Uδ(t)表示带有常利息力在t时刻的盈余过程,且

(3)

其中,年金在0时刻的现值

(4)

本文我们将引入带有变利息力风险模型.记δt为与时间t有关的变利息力,并且满足Stoodley模型[9],其现值盈余过程可表示为

(5)

本文对带有这种特殊变利息现值风险模型及其破产概率上界的问题进行研究,并给出Lundberg型指数界.

1 带有Stoodley利息力的风险模型

假定利息力δt是关于t的函数,并满足Stoodley模型

(6)

其中p,s,r为属于实数的3个常数.

从文献[8]中可知δt是关于时间t的Logistic函数,随时间变化呈现出递减的曲线.下面将讨论带有此变利息力的盈余过程.

引理1变利息力δt满足(6)式时,t时刻的贴现率为

(7)

证明由利息理论的知识我们有t时刻的贴现率

定理1当利息力δt满足引理1,现值盈余过程可表示为

(8)

其中Ui(i=p+s,p)为带有常利息力i的盈余过程.

证明由引理1可知，(5)式中

(9)

(10)

所以有

由定理1可知,我们已将带有Stoodley变利息力的盈余过程推导成了两个带有常利息力盈余过程加权和的形式,下面我们给出不同常利率破产概率大小的关系.

2 不同常利率风险模型破产概率间的比较

前面介绍了经济因子的相关概念,根据文献[3],我们可定义带有一般经济因子的现值索赔过程.

(11)

(12)

(13)

两边都乘以f1(t)/f2(t)并从0到t积分得

同理可证

定理2令fi(t)(i=1,2)是两个不同的经济因子,破产时刻

Ψf1(u)≤Ψf2(u)

(14)

证明由引理2,对(12)式分部积分得

(15)

令经济因子为(7)式,满足风险模型(5)式的破产概率记为Ψδt(u),可由如下定理叙述破产概率的界.

定理3令Ψp+s(u),Ψp(u)分别表示含有常利息力p+s和p的风险模型的破产概率,与Ψδt(u)有如下不等式成立

Ψp+s(u)≤Ψst(u)≤Ψp(u)

(16)

证明由上述的内容及引理1可知,各个风险模型的折现因子分别为

由定理2,定理得证.

3 最终破产概率的上界

(3)式与经典风险模型(1)式不同,由于加入了利率,因此不再是平稳增量过程[10],从而对任意的r>0,随机过程exp{-rUδ(t)}不再是鞅过程,但我们仍可以找到一个常数r*>0,使得exp{-r*Uδ(t)}为一个上鞅,从而可得到最终破产概率的上界.假设索赔额X的矩母函数存在,记为MX(r)=E[erX],并定义函数h(r)=MX(r)-1,显然,h(0)=0.

定义2假设安全负荷为θ,单位时间保费收入c=(1+θ)λE[X],称关于r的方程

H(r)=λh(r)-cr=0

(17)

的唯一正解r*为X的调节系数.

(18)

证明参见文献[7].

定理4假设安全负荷满足定义2的条件,则随机过程exp{-rUδ(t)}为关于σ-代数流F的上鞅,即对任意的0≤s≤t,有

E[exp{-r*Uδ(t)}|Fs]≤exp{-r*Uδ(s)}

(19)

证明Uδ(t)有独立增量性(参见文献[10])根据引理3,有

E[exp{-r*Uδ(t)}|Fs]=E[exp{-

r*Uδ(s)}exp{-r*[Uδ(t)-Uδ(s)]}|Fs]=

exp{-r*Uδ(s)}E[exp{-r*[Uδ(t)-Uδ(s)]}]

又Uδ(t)-Uδ(s)与e-δs[Uδ(t-s)-Uδ(0)]有相同的分布(见文献[10]),根据引理3有

E[exp{-r*[Uδ(t)-Uδ(s)]}]=

E[exp{-r*e-δsUδ(t-s)}]=

再由(9)式可知,当r*e-δu≤*r时,可得H(r*e-δu)≤H(r*),所以

综上可得

E[exp{-r*Uδ(t)}|Fs]≤exp{-r*Uδ(s)}

定理5设在复合Poisson现值风险过程中,初始资本金为u,单位时间收取的保费为c,折现变利息力δt满足(6)式,调节系数r*为(17)式的唯一正数解,则破产概率Ψδt(u)满足如下Lundberg型指数不等式

Ψδt(u)≤e-r*u

(20)

证明在定理1中,现值盈余过程

令Wt=exp{-r*Up(t)},T为Up(t)的破产时刻.由于对任意固定的t,T∧t是有界停时,由引理4可知,Wt是关于σ-代数流F的上鞅,所以WT∧t同样是上鞅,因此有

E[WT∧t]≤E[W0]=exp{-r*u}

于是有

exp{-r*u}≥E[WT∧t|T

E[WT∧t|T≥t]Pr{T≥t}=

E[WT|T

E[Wt|T≥t]Pr{T≥t}

(21)

注意到当t

Wt=exp{-r*Up(t)}≤1

由单调收敛定理与Lebesgue控制收敛定理,令(21)式t→∞

exp{-r*u}≥E[WT|T<∞]Pr{T<∞}+

E[Wt|T=∞]Pr{T=∞}

(22)

由此可得

Pr{T<∞}≤exp{-r*u}

(23)

再由定理3可得破产概率的上界为

Ψδt(u)≤Ψp(u)=Pr{T<∞}≤

exp{-r*u}

(24)

4 结束语

本文主要考虑了带有Stoodley变利息力的风险模型,实际中利息力是随时间变化的,所以带有变利息力的风险模型比带有常利率的风险模型更具意义.通过利用鞅方法得到了最终破产概率的指数型上界.结果表明,所得到的指数型上界仍然具有经典的Lundberg指数上界的形式.

[1]Gerber H U. An introduction to mathematical risk theory[M].Homeward Illinois: S. S. Huebner Foundation for Insurance Education, Wharton School, University of Pennsylvania (Philadelphia and Homewood, Ill.),1979.

[2]Sunt B, Teugels J L. Ruin estimates under interest force[J]. Insurance: Mathematics&Economics,1995，16(1):7-22.

[3]Delbaen F, Haezendonck J. Classical risk theory economic environment [J].Insurance:Mathematics&Economics,1987,6(2):85-116.

[4]Cai J, Dickson D C M. On the expected discounted penalty function at ruin of surplusprocess with interest[J]. Insurance: Mathematics& Economics, 2002,30(3):389-404.

[5]Cai J, Dickson D C M. Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the Sparre Andersen model with interest[J]. Insurance: Mathematics& Economics, 2003,32(1):61-71.

[6]Yang W Q, Hu Y J. Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the Sparre Andersen risk model with interest and a nonlinear dividend barrier[J]. Statistics and Probability Letters, 2009,79(1):63-69.

[7]赵武. 聚合风险模型下保险公司的投资策略和破产概率的研究[D]. 成都: 电子科技大学, 2009.

[8]张瑜. Logistic模型下变利率的破产问题的研究[D]. 乌鲁木齐: 新疆大学, 2010.

[9]Kellison S G. 利息理论[M]. 尚汉冀,译. 上海: 上海教育出版社, 1998.

[10]Brekelmans R,Waegenaere D A.Approximating the finite time ruin Probability under interest force[J].Insurance: Mathematics &Economics, 2001,29(2):217-229.