码长为2nps的重根自对偶负循环码

常星星， 孔 琼， 郭膑化

(山东理工大学 理学院， 山东 淄博 255091)

负循环码是一类重要的线性码．它们具有很好的代数结构、循环性，其编码和译码可以利用线性移位寄存器来实现．寻找有限域上自对偶负循环码是学者们研究的热点之一．文献[1]中研究了下列码类：(1)有限域Fq上码长为2n的单根常循环码；(2)Fq上码长为2n的单根自对偶负循环码；(3)Fq上码长为2nps的重根常循环码．目前Fq上码长为2nps的重根自对偶负循环码尚未给出．本文将给出Fq上码长为2nps的重根自对偶负循环码．

1 预备知识

引理1(文献[1]中引理4和引理5)设n≥1，d≥2，c是奇数．

当n≤d-1时，Sn+1={±1,±3,…，±3(2n-1-1)}．

2 主要结果

下面给出Fq上码长为2nps的所有重根自对偶负循环码．

定理1设n≥1，s≥1，q=1+2dc，d≥2，c为奇数．

1)如果n≥d，那么Fq上码长为2nps的自对偶负循环码有(ps+1)2d-2个：

2)如果n≤d-1，那么Fq上码长为2nps的自对偶负循环码有(ps+1)2n-1个：

又因为当s取遍集合Sn+1，-s也取遍集合Sn+1，所以，

2)类似可以证明当n≤d-1的情况成立．

定理2设n≥1，s≥1，q=-1+2dc，d≥2，k=1，c为奇数．

1)如果d=2，那么Fq上码长为2nps的自对偶负循环码有(ps+1)2d-2个：

2)如果n≥d≥3，那么Fq上码长为2nps的自对偶负循环码有(ps+1)2d-2个：

3) 如果n≤d-1,d≥3，那么不存在Fq上码长为2nps自对偶负循环码．

证明1)和 2)同定理1中的证明类似.

3)如果n≤d-1,d≥3，设C=〈g(x)〉为Fq上码长为2nps的自对偶负循环码，由引理1得

其中0≤j3i≤ps，那么

当q=5时，M1(x)=x2n-1-2，M-1(x)=x2n-1+2；当q=3时，M1(x)=x2n-1-x2n-2-1，M-1(x)=x2n-1+x2n-2-1．根据定理1和定理2得到下面推论.

推论11)设q=5，对任何n≥1，s≥1，F5上码长为2n5s的自对偶负循环码有5s+1个：〈(x2n-1-2)v0(x2n-1+2)5s-v0〉，0≤v0≤5s．

2)设q=3,对任何n≥2,s≥1，F3上码长为2n3s的自对偶负循环码有3s+1个：

〈(x2n-1-x2n-2-1)v0(x2n-1+x2n-2-1)3s-v0〉，0≤v0≤3s．

例 当n=1，s=1，那么F5上码长为10的自对偶负循环码有6个，详情见表1.

表1 F5上码长为10的自对偶负循环码

[1]Gurmeet K．Bakshi, Madhu Raka．A class of constacyclic codes over a finite field[J]．Finite Fields Appl．2012，18: 362-377．

[2]王开洪．关于常循环码[J]．渝西学院学报，2003，1(2):10-12．

[3]冯克勤.纠错码的代数理论[M]．北京:清华大学出版社，2005:56-57．

[4]陈鲁生，沈世镒．编码理论基础[M]．北京:高等教育出版社，2005:157-158．