资金时间价值中的系数关系探析

（郑州大学西亚斯国际学院河南郑州451150）

资金时间价值是财务管理的重点和难点之一，由于涉及的知识点较多，不易把握知识点之间的逻辑性、连贯性和系统性。在资金时间价值的计算中，资金的终值、现值和各类年金相互之间的计算依赖于各类系数。因此，用简单易懂的公式来分析和推导资金时间价值中各类系数的涵义及其关系，不仅有利于把握各类系数之间的逻辑性、连贯性和系统性，也有利于对各类系数的理解、掌握和运用。

资金时间价值是指资金在没有风险和没有通货膨胀的条件下，经过一定时期的投资和再投资所增加的价值。从本质上看，不是所有的资金都有时间价值，资金最终要依靠投入经营过程才能带来价值的增值。但是，资金经过投资和再投资所增加的价值并不全是资金时间价值，在投资过程中，由于投资者承担风险而要求获得风险报酬，由于投资者要弥补通货膨胀所引起的货币购买力下降而要求获得通货膨胀补偿。因此可以看出，资金时间价值是考虑资金由于时间因素经过投资和再投资所带来的价值增值，而不考虑资金由于风险和通货膨胀因素经过投资和再投资所带来的价值增值。而资金时间价值率是没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率，通常用无通货膨胀条件下的国库券利息率来表示。

一、资金时间价值中系数的涵义

由于资金是有时间价值的，等额的资金在不同时点上的价值是不等额的，因此一定要区分资金所对应的时点。由于复利体现了资金的投资和再投资，符合资金时间价值的内涵，因此在资金时间价值的计算中，通常采用复利计算。

（一）复利终值系数与复利现值系数的涵义。终值（future value）是指当前的资金在若干期后所具有的价值；现值（present value）是指未来年份的资金在当前的价值。复利终值系数是由资金的现值计算出其终值所需乘的数，复利现值系数是由资金的终值计算出其现值所需乘的数。令F表示终值，P表示现值，i表示利息率，n表示期数，则资金的终值与其现值的关系是：F=P（1+i）n，资金的现值与其终值的关系是：P=F/（1+i）n。复利终值系数可用（F/P，i，n）表示，复利现值系数可用（P/F，i，n）表示，则有公式 1-1 和 1-2。

（二）普通年金终值系数与普通年金现值系数的涵义。普通年金（ordinary annuity）是指在一定时期内每期期末等额的系列收付款项。普通年金的终值是指普通年金在若干期后所具有的价值，普通年金终值系数是由普通年金计算出其终值所需乘的数；普通年金的现值是指普通年金在当前的价值，普通年金现值系数是由普通年金计算出其现值所需乘的数。令F和P分别表示普通年金的终值和现值，A表示普通年金，i表示利息率，n表示期数，普通年金与其终值的关系是：F=A[1+（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n-1]，普通年金与其现值的关系是：P=A[1/（1+i）1+1/（1+i）2+…+1/（1+i）n]，普通年金终值系数可用（F/A，i，n）表示，普通年金现值系数可用（P/A，i，n）表示，则有公式 2-1 和 2-2。

（三）先付年金终值系数与先付年金现值系数的涵义。先付年金（annuity due）是指在一定时期内每期期初等额的系列收付款项。先付年金的终值是指先付年金在若干期后所具有的价值，先付年金终值系数是由先付年金计算出其终值所需乘的数；先付年金的现值是指先付年金在当前的价值，先付年金现值系数是由先付年金计算出其现值所需乘的数。令F和P分别表示先付年金的终值和现值，AD表示先付年金，i表示利息率，n表示期数，先付年金与其终值的关系是：F=AD[（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n]，先付年金与其现值的关系是：P=AD[1+1/（1+i）1+1/（1+i）2+…+1/（1+i）n-1]，先付年金终值系数可用（F/AD，i，n）表示，先付年金现值系数可用（P/AD，i，n）表示，则有公式 3-1 和 3-2。

（四）延期年金终值系数与延期年金现值系数的涵义。延期年金（deferred annuity）是指在一定时期内，最初若干期没有收付款项的情况下，后面若干期等额的系列收付款项，一般把延期年金看成是普通年金的特殊形式。延期年金的终值是指延期年金在若干期后所具有的价值，延期年金终值系数是由延期年金计算出其终值所需乘的数；延期年金的现值是指延期年金在当前的价值，延期年金现值系数是由延期年金计算出其现值所需乘的数。令F和P分别表示延期年金的终值和现值，DA表示延期年金，i表示利息率，m表示没有收付款项的期数，n表示有收付款项的期数。延期年金与其终值的关系是：F=DA[1+（1+i）1+（1+i）2+…+（1+i）n-1]， 延期年金与其现值的关系是：P=DA[1/（1+i）m+1+1/（1+i）m+2+…+1/（1+i）m+n]，延期年金终值系数可用（F/DA，i，n）表示，延期年金现值系数可用（P/DA，i，n）表示。则有公式4-1和 4-2。

二、资金时间价值中系数之间的关系

（一）不同系数之间的关系。

1.同类终值系数和现值系数之间的关系。

（1）复利终值系数和复利现值系数之间的关系。由公式1-1和1-2可得：当i、n相同时，复利终值系数和复利现值系数互为倒数，（F/P，i，n）（P/F，i，n）=1。

（2）普通年金终值系数和普通年金现值系数之间的关系。由公式2-1和2-2可得：当i、n相同时，普通年金终值系数等于普通年金现值系数乘以n期的复利终值系数，（F/A，i，n）=（P/A，i，n）（1+i）n=（P/A，i，n）（F/P，i，n）。

（3）先付年金终值系数和先付年金现值系数之间的关系。由公式3-1和3-2可得：当i、n相同时，先付年金终值系数等于先付年金现值系数乘以n期的复利终值系数，（F/AD，i，n）=（P/AD，i，n）（1+i）n=（P/AD，i，n）（F/P，i，n）。

（4）延期年金终值系数和延期年金现值系数之间的关系。由公式4-1和4-2可得：当i、m、n相同时，延期年金终值系数等于延期年金现值系数乘以m+n期的复利终值系数，（F/DA，i，n）=（P/DA，i，n）（1+i）m+n=（P/DA，i，n）（F/P，i，m+n）。

2.不同的终值系数之间的关系。

（1）普通年金终值系数与复利终值系数之间的关系。由公式1-1和2-1可得：当i相同时，普通年金终值系数等于从 1 期到 n-1 期的复利终值系数之和加 1，（F/A，i，n）=1+（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n-1）。

（2）先付年金终值系数与复利终值系数之间的关系。由公式1-1和3-1可得：当i相同时，先付年金终值系数等于从 1 期到 n 期的复利终值系数之和，（F/AD，i，n）=（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n）。

（3）延期年金终值系数与复利终值系数之间的关系。由公式1-1和4-1可得：当i相同时，延期年金终值系数等于从 1 期到 n-1 期的复利终值系数之和加 1，（F/DA，i，n）=1+（F/P，i，1）+（F/P，i，2）+…+（F/P，i，n-1）。

（4）先付年金终值系数与普通年金终值系数之间的关系。由公式2-1和3-1可得：当i、n相同时，先付年金终值系数等于普通年金终值系数乘以（1+i），（F/AD，i，n）=（F/A，i，n）（1+i）。 此外，先付年金终值系数还等于 n+1 期的普通年金终值系数减 1，（F/AD，i，n）=（F/A，i，n+1）-1。

（5）延期年金终值系数与普通年金终值系数之间的关系。由公式2-1和4-1可得：当i、n相同时，延期年金终值系数等于 n 期的普通年金终值系数，（F/DA，i，n）=（F/A，i，n）。

3.不同的现值系数之间的关系。

（1）普通年金现值系数与复利现值系数之间的关系。由公式1-2和2-2可得：当i相同时，普通年金现值系数等于从 1 期到 n 期的复利现值系数之和，（P/A，i，n）=（P/F，i，1）+（P/F，i，2）+…+（P/F，i，n）。

（2）先付年金现值系数与复利现值系数之间的关系。由公式1-2和3-2可得：当i相同时，先付年金现值系数等于从 1 期到 n-1 期的复利现值系数之和加 1，（P/AD，i，n）=1+（P/F，i，1）+（P/F，i，2）+…+（P/F，i，n-1）。

（3）延期年金现值系数与复利现值系数之间的关系。由公式1-2和4-2可得：当i相同时，延期年金现值系数等于从 m+1 期到 m+n 期的复利现值系数之和，（P/DA，i，n）=（P/F，i，m+1）+（P/F，i，m+2）+…+（P/F，i，m+n）。

（4）先付年金现值系数和普通年金现值系数之间的关系。由公式2-2和3-2可得：当i、n相同时，先付年金现值系数等于普通年金现值系数乘以（1+i），（P/AD，i，n）=（P/A，i，n）（1+i）。 此外，先付年金现值系数还等于 n-1 期的普通年金现值系数加 1，（P/AD，i，n）=（P/A，i，n-1）+1。

（5）延期年金现值系数和普通年金现值系数之间的关系。由公式2-2和4-2可得：当i、n相同时，延期年金现值系数等于m+n期与m期的普通年金现值系数之差，（P/DA，i，n）=（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）。 此外，延期年金现值系数也等于n期的普通年金现值系数乘以m期的复利现值系数，（P/DA，i，n）=（P/A，i，n）/（1+i）m=（P/A，i，n）（P/F，i，m）。

（二）不同时期的同一系数之间的关系。

1.不同时期的复利终值系数之间的关系。由公式1-1可得：当i相同时，n期的复利终值系数等于n-1期的复利终值系数乘以（1+i），（F/P，i，n）=（F/P，i，n-1）（1+i）。

2.不同时期的复利现值系数之间的关系。由公式1-2可得：当i相同时，n期的复利现值系数等于n-1期的复利现值系数除以（1+i），（P/F，i，n）=（P/F，i，n-1）/（1+i）。

3.不同时期的普通年金终值系数之间的关系。由公式2-1可得：当i相同时，n期的普通年金终值系数等于n-1期的普通年金终值系数加上n-1期的复利终值系数，（F/A，i，n）=（F/A，i，n-1）+（1+i）n-1=（F/A，i，n-1）+（F/P，i，n-1）。

4.不同时期的普通年金现值系数之间的关系。由公式2-2可得：当i相同时，n期的普通年金现值系数等于n-1期的普通年金现值系数加上n期的复利现值系数，（P/A，i，n）=（P/A，i，n-1）+1/（1+i）n=（P/A，i，n-1）+（P/F，i，n）。

5.不同时期的先付年金终值系数之间的关系。由公式3-1可得：当i相同时，n期的先付年金终值系数等于n-1期的先付年金终值系数加上n期的复利终值系数，（F/AD，i，n）=（F/AD，i，n-1）+（1+i）n=（F/AD，i，n-1）+（F/P，i，n）。

6.不同时期的先付年金现值系数之间的关系。由公式3-2可得：当i相同时，n期的先付年金现值系数等于n-1期的先付年金现值系数加上n-1期的复利现值系数，（P/AD，i，n）=（P/AD，i，n-1）+1/（1+i）n-1=（P/AD，i，n-1）+（P/F，i，n-1）。

7.不同时期的延期年金终值系数之间的关系。由公式4-1可得：当i、m相同时，n期的延期年金终值系数等于n-1期的延期年金终值系数加上n-1期的复利终值系数，（F/DA，i，n）=（F/DA，i，n-1）+（1+i）n-1=（F/DA，i，n-1）+（F/P，i，n-1）。

8.不同时期的延期年金现值系数之间的关系。由公式4-2可得：当i、m相同时，n期的延期年金现值系数等于n-1期的延期年金现值系数加上m+n期的复利现值系数，（P/DA，i，n）=（P/DA，i，n-1）+1/（1+i）m+n=（P/DA，i，n-1）+（P/F，i，m+n）。