资金时间价值基础运算解读

钟文娟

（河南教育学院 工商管理学院，郑州 450000）

资金时间价值基础运算解读

钟文娟

（河南教育学院 工商管理学院，郑州 450000）

资金时间价值是财务管理中的重要概念，是财务管理的基础，直接影响企业的财务管理活动，如筹资、营运等，尤其是长期投资决策。只有正确掌握资金时间价值的计算，才能准确处理长期财务管理行为。本文通过对资金时间价值概念的介绍，准确解读如何计算资金时间价值。

资金时间价值；复利终值；复利现值；年金终值；年金现值

1　资金时间价值概念

资金时间价值是指在不考虑风险和通货膨胀的情况下，资金经过一定时间的投资和再投资所增加的价值。货币在使用过程中随时间推移而发生的增值现象，称为货币具有时间价值的属性。但资金不会随着时间变化而自动发生增值，只有在投资中循环才会有收益，才会有增值的可能。

资金时间价值主要点明这一点，阐述资金在投资中随着时间的推移而产生的增值。资金时间价值在财务管理中的计算主要包括两部分，即终值和现值。终值是指将来值，指的是本金和利息之和，用F表示；现值是指本金、现在的价值，用P表示。资金时间价值的计算有单利和复利两种形式。在企业贷款业务中，银行利息都是按复利计算的，单利计算比较简单。

2　复利终值和现值的计算

复利的计息方式是指本金能产生利息，利息在下期也转作本金并与原来的本金一起计算利息。计算过程中，用i表示利率，n表示期数，本金*利率=利息。

2.1复利终值

复利终值的计算实质上是“知道现值求终值”。

第1期时点上的复利终值根据定义可得F1=P+P*i=P（1+i）。

第2期时点上的复利终值根据定义可得F2= P （1+i）+ P （1+i）*（1+i）=P （1+i）2。

以此类推，第n期的复利终值表示为：Fn=P （1+i）n。

复利终值计算公式是F关于P的函数。其中，（1+i）n为复利终值系数，用符号（F/P，i，n）表示，可以通过查询复利终值系数表获得。

2.2复利现值

复利现值是未来某一特定时间的一笔未收付款项，按折现率计算的现在时点的价值。相当于原始本金，是指若干期后一定量货币的现在价值。

复利现值的计算实质上是“知道终值求现值”，是复利终值的逆运算。

根据1期复利终值的逆运算计算的复利现值P1=F（1+i）-1；根据2期复利终值的逆运算计算的复利现值P2=F（1+i）-2；以此类推，期数为n的复利现值表示为：Pn=F（1+i）-n。

复利现值计算公式是P关于F的函数。其中，（1+i）-n为复利现值系数，用符号（P/F，i，n）表示，可以通过查询复利现值系数表获得。

3　年金终值和现值的计算

年金是指一定时期内，系列等额收付的款项，通常记作A。理解年金需要掌握年金的两个特点，即时间间隔相同、金额相同。年金有普通年金、即付年金、递延年金和永续年金4种表现形式，其中，普通年金计算是所有年金计算的基础，其他年金计算以普通年金计算为起点进行修正。

3.1普通年金

普通年金又称后付年金，于每期期末发生收付款。即资金发生时点在期末，如图1所示。

图1　普通年金的时间轴表示

从时间轴可以看出普通年金的特点，最初时点没有年金，在最后的期末有年金。

3.1.1普通年金终值的计算

普通年金终值是“和”的概念，是每一个A复利到最后一期时点上的和，实质上是n个复利终值之和。需要注意的是终值的“终”是终到n点，计算每期资金在第n期期末即时间轴中n的位置时点上的资金价值总和。

根据复利终值的计算可知，从第n期到第1期，每一个A的复利终值为A（1+i）0，A（1+i）1，A（1+i）2，…，A（1+i）n-1。该数列是公比为（1+i）、期数为n的等比数列，年金终值即该数列之和，根据等比数列求和公式Sn=a1（1-qn）/（1-q），年金终值F=［A（1+i）］［1-（1+i）n］/［ 1-（1+i）］，整理得F=A* ［（1+i）n-1］/i。

年金终值计算公式是F关于A的函数，其中，［（1+i）n-1］/i是年金终值系数，用符号（F/A，i，n）表示，可以通过查询年金终值系数表获得。偿债基金是指为了在约定的未来某一时点收付一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。实际上是“知道终值求年金”，是普通年金终值计算的逆运算。偿债基金系数与年金终值系数互为倒数关系，记作（A/F，i，n），可以通过查年金终值系数表并计算获得。

3.1.2普通年金现值的计算

普通年金现值也是“和”的概念，是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利现值之和。即每一个A的复利现值之和。需要注意的是现值的“现”是折现到0点，计算第1期期初即时间轴中0的位置时点上的资金价值。

根据复利现值的计算可知，从第n期到第1期，每一个A的复利现值为A（1+i）-n，A（1+i）-（n-1），…，A（1+i）-2，A（1+i）-1。该数列是公比为（1+i）、期数为n的等比数列，年金现值即该数列之和，同理，根据等比数列求和公式，年金现值P=［A（1+i）-n］［1-（1+i）n］/［ 1-（1+i）］，整理得P=A*［1-（1+i）-n］/i。年金终值计算公式是P关于A的函数，其中，［1-（1+i）-n］/i是年金现值系数，用符号（P/A，i，n）表示，可以通过查询年金现值系数表获得。

资本回收额是指初始投入资本在未来给定年限内每年年末的等额回收值。实际上是“知道现值求年金”，是普通年金现值计算的逆运算。资本回收系数与年金现值系数互为倒数关系，记作（A/P，i，n），可以通过查年金现值系数表并计算获得。

3.2即付年金

即付年金又称预付年金、先付年金，是指在每期期初收付款。即资金发生时点在每期期初，如图2所示。

图2　即付年金的时间轴表示

从时间轴可以看出即付年金的特点，最初时点（0点）有年金，在最后的期末（n点）没有年金。即付年金终值和现值的计算以普通年金终值和现值计算为基础，计算可以根据时间轴的特点凑出普通年金在进行时间价值换算。

3.2.1即付年金终值的计算

从时间轴中来看，任何年金终值的计算是“终”到n点。可以用两种方法计算。

（1）分步法

图3　即付年金终值的分步法计算

如图3所示，第一步，先算出在n-1时间点上的年金终值F＇，在0的时间点上有年金A，可以看成是第0期期末，则构成了从第0期到n-1期，期数共n期的普通年金，根据普通年金终值的计算，F＇=A（F/A，i，n）；第二步，算出最终的终点n时间点的终值。由F＇到F，是间隔1期的复利终值计算。根据复利终值计算公式，则F= F＇（1+i），即：F=A（F/A，i，n）（1+i）。

（2）凑整法

图4 即付年金终值的凑整法计算

从图4的时间轴来看，第n期期末没有年金，为了凑成普通年金，在第n期期末加上年金A，构成从第0期到第n期、期数是n+1期的普通年金。终值要算到n点，这个A在n点的价值仍然是A，在整个年金终值总和中再将A减去，相当于没有增加也没有减少，即利用n点A的作用加一次减一次还是原来的总和。根据普通年金终值系数的概念，期数为n+1期的普通年金终值系数应该记为（F/A，i，n+1），则该终值计算公式为F＇=A（F/A，i，n+1），该终值多了一个A，将A减去即为即付年金终值。则F=F＇-A，即：

F=A（F/A，i，n+1）-A=A［（F/A，i，n+1）-1］。

3.2.2即付年金现值的计算

从图5的时间轴中来看，任何年金现值的计算是“折现”到0点。可以用两种方法计算。（1）分步法

图5　即付年金现值的分步法计算

第一步，为了凑出普通年金的形式，可以使时间轴向前延伸1期至0期期初即-1点的位置，先算出在该时间点上的年金现值P＇，在-1的时间点上没有年金A，可以看成是第0期期初，则构成了从第0期到n-1期、期数为n期的普通年金，根据普通年金现值的计算，P＇=A（P/A，i，n）。

第二步，算出最终的折现点0时间点的现值。由P＇到P，是间隔1期的复利终值计算。根据复利终值计算公式，则P= P＇（1+i），即：P=A（P/A，i，n）（1+i）。

（2）凑整法

图6　即付年金现值的凑整法计算

如图6所示，该计算方法宗旨是先不管第1期期初的年金A，则图6时间轴中带下划线的年金A构成了从第1期到n-1期、期数为n-1期的普通年金。根据普通年金现值系数的概念，期数为n-1期的普通年金现值系数应记为（P/A，i，n-1），则该现值计算公式为P＇=A（P/A，i，n-1），该现值较之最终要计算的n期的即付年金现值少了0时间点上的年金A，将A加上即为即付年金现值。则P=P＇+A，即：P=A（P/A，i，n-1）+A =A〔（P/A，i，n-1）+1〕。

3.3递延年金

递延年金是指间隔若干期（m）以后于每期期末发生的系列等额收付款项。正确理解递延年金的相关计算必须准确找出间隔期m，假设等额收付款项期数为n。在递延年金计算终值和现值过程中，也要在时间轴中凑出普通年金的形式便于计算，如图7所示。

图7　递延年金

从图7的时间轴中可以看出递延年金的特点，前m期每期期末没有年金A的发生，从m期以后的n期中每期期末都发生年金收付。

3.2.1递延年金终值的计算

递延年金终值与递延期数无关，其计算与间隔期和收付期有关，计算方法与普通年金终值相同。若收付期为n期，则递延年金计算公式为：F=A（F/A，i，n）。

3.2.2递延年金现值的计算

递延年金现值折现点是到0点，可以用两种方法计算。

（1）分步法

图8　递延年金现值的分步法计算

该方法计算原则是先找出普通年金形式，再进行复利折现。

如图8所示，第一步，算出图中所有年金在m点的现值和P＇。在图8的时间轴中找出正确的递延期，从时间轴可以看出，有年金A发生的时间点是从第m+1期到m+n期每期的期末，则构成了从第m+1期到m+n期、期数为n期的普通年金，根据普通年金现值的计算，P＇=A（P/A，i，n）；第二步，算出最终的折现点0时间点的现值P。由P＇到P，是间隔m期的复利现值计算。根据复利现值计算公式，则P= P＇（P/F，i， m），则递延年金现值计算公式为：P=A（P/A，i，n）（P/F，i，m）。

（2）凑整法

图9　递延年金现值的凑整法计算

如图9所示，从时间轴前m期每期期末都假设存在A，构成从第1期到m+n期、期数为m+n期的普通年金。根据普通年金现值系数的概念，期数为m+n期的普通年金现值系数应记为（P/A，i，m+n），则该现值计算公式为P＇=A（P/A，i，m+n），该现值较之最终要计算的递延年金现值多了前m期每期期末年金现值之和。从时间轴可以看出，m期（A）构成了从第1期到m期、期数为m的普通年金，其现值计算为A（P/A，i，m），应在P＇扣除。则递延年金现值计算公式如下：P=A（P/A，i，m+ n ）-A（P/A，i，m）。

3.4永续年金

永续年金是指无限期于每期期末收付的年金。永续年金每期年金A是无穷的，没有尽头。永续年金没有终止的时间，所以没有终值。只需要掌握永续年金现值的计算。

永续年金现值可从普通年金现值的计算公式中推导出来。

已知普通年金现值的计算公式为P=A* ［1-（1+i）-n］/i，永续年金现值即对该公式n为无穷大求极限，整理得计算公式为：P=A/i。

10.3969/j.issn.1673 - 0194.2015.14.037

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A

1673-0194（2015）14-0047-02

2015-05-22