课堂教学回归“数学化”的讨论和分析——以高中“数学归纳法”的教学为例

马茂年，俞 昕

（1.浙江省杭州市第十四中学，浙江 杭州 310006；2.浙江省湖州市第二中学，浙江 湖州 313000）

1 前 言

浙江省杭州市举行了高中数学青年教师优质课评比，比赛的课题是“数学归纳法”第一课时，来自不同学校的8位教师各自做了精心的准备，向大家展示了他们个人和集体智慧的结晶.研究者怀着学习的心态全程观摩了这8节课，这8节课有很多精彩之处，有很多地方值得学习.研究者想针对其中的一个共同现象谈谈对数学课堂教学的感想.这8节课中的7节课都充斥着视频资料，有的播放“烽火戏诸侯”的电视情节、有的播放好莱坞大片“盗梦空间”的片段、有的播放电影“指环王”的片段、有的播放“从前有座山，山里有座庙……”的歌曲音频、有的播放近期“禽流感”的新闻视频等，课堂瞬间演变成一场饕餮的视觉与听觉大餐，研究者不禁思考：数学教学真的需要这些视觉与听觉盛宴吗？首先，要承认这些视觉与听觉大餐的一个用途：那就是吊足学生的胃口，引起学生感官的刺激，激发学生学习数学的兴趣.但不应该让这些大餐的用途仅仅限于此，数学课的乐趣应该真正体现与反映在数学理性思维、数学思维火花的冲击与碰撞，让学生真正享受一场数学思想的洗礼与盛宴.

从数学归纳法的发现、发展到应用，从数学归纳法的理论基础到实际教学，从数学归纳法的逻辑基础到学生学习数学归纳法时遇到的心理问题等，都是教师需要了解清楚的.事实上，教师只有清楚地了解每一个知识点的来龙去脉，了解一个知识点的应用范围，了解每一个知识点的所以然，才能更好地讲授数学归纳法.若是教师自身的功课做得不足，那么所教授的学生也只能掌握数学归纳法的“形”，而未能掌握其“神”，应追求的是“形神具备”[1].

2 对“数学归纳法”教学的分析

研究者观摩的8节数学归纳法起始课中，大部分的执教教师都着力于为学生营造一种轻松、形象的学习氛围，让学生在观看各种视频材料，包括多米诺骨牌，甚至是比较幽默的“人体骨牌”视频材料的基础上，让学生形象地理解数学归纳法的原理与基本步骤.有些课堂上确实也营造了学生轻松学习数学的氛围，学生学习的兴趣也浓厚，确实达到了公开课的效果，但通过课后学生的访谈发现，学生对数学归纳法的本质仍然模糊不清.数学归纳法的发生教学，是探寻一种能“自动递推，无穷验证”的方法的过程，是重要的数学思想，不能弱化.要力求让学生在提起学习数学归纳法兴趣的基础上，也能深刻理解数学归纳法的来龙去脉与数学化本质[2].

2.1 用足“多米诺骨牌”的经典实例

多米诺骨牌确实是一个经典的教学实例，很多专家与一线教师在反复探讨之后，仍然觉得其它实例都无法代替多米诺骨牌这个经典实例.由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……，如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.通过师生的共同讨论得出结论：（1）第一块要倒下；（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.把这两个条件迁移到具体的数学问题中，引出数学归纳法证题的步骤.最后让学生套用这个模式解题.虽然多米诺骨牌这个例子学生确实比较容易理解，但无论你如何解释，这只是对数学归纳法思想的一个直观认识，它决不能替代其丰富的理性内涵.但事实上，若学生缺乏思考就很难在头脑中形成一个有效的认知结构，于是学生对它的掌握仅仅停留在被称作“表象”的水平上，即没有真正掌握.

如何才能用足“多米诺骨牌”这个经典实例？这是值得探索的.在这8节中有一节课让研究者觉得可以在这方面作出一点探讨.

教师（拿出一本旧的教材）：老的数学教材《代数》的封面上有一个等式12+22+32+…+n2=?（n+1）（2n+1），其中有一处由于年代久远，已经锈迹斑斑，看不清楚了.大家猜猜，这里应该填上什么内容？

通过学生的猜想，得出结论

教师：这个是研究者猜测的，但到底对不对呢？下面首先进行探究1：“人工探索”，让学生通过具体的数字进行逐一验证.探究收获：前后两个等式在计算时，存在一定的关系，即若记

则

在计算f（k+1）时，若调用f（k）的结果，会大大减少运算量.探究2：“智能操控”.用程序框图表示如图1.

图1 程序框图

探究收获：等式在n取相邻值时的真假性具有“递推”性，即在

的条件下，必有

成立.然后引导学生思考：证明

最大的障碍是什么？主要是处理“无限”的问题.顺势引导学生得到数学归纳法的一般步骤.此时是联结“多米诺骨牌”的最佳时机，在此教师可以让学生探究“多米诺骨牌”与刚才运用“数学归纳法”证明有何相似性？可以运用“类比”的思想将“多米诺骨牌”与“数学归纳法”对应起来，从而通过直观加深学生对数学归纳法证明的理解，实现“数学化”理性思考与感性认识的结合.类比的过程也可以尝试通过诸如以下的问题实现：数列{an}满足an=2an−1−1，猜想数列{an}的通项公式，并运用数学归纳法加以证明.

通过将多米诺骨牌与运用数学归纳法证明一些具体的与正整数有关命题的过程的对照，最终得到多米诺骨牌与数学归纳法证明一般过程的类比表格.

多米诺骨牌的主要作用是将数学归纳法的操作过程形象化，有助于学生掌握数学归纳法的证题过程，这是一种形象化的处理，虽然是形象化处理，但也要确实有助于学生的数学化思考，所以应该有效地用足多米诺骨牌的经典实例，而不是仅仅放放动画、视频等，让课堂热闹热闹就了事了.

2.2 着力于“归纳假设”难点的教学

教师通过各种方式展示多米诺骨牌游戏的过程，包括视频等，主要目的不应该仅仅停留在让学生欣赏与惊叹于多米诺骨牌的神奇，而应该让学生深刻理解多米诺骨牌全部倒下的条件.条件1：第一块骨牌倒下，学生是比较容易理解的；而条件2：若第k块骨牌倒下，则第k+1块骨牌也倒下，对于这个条件学生理解其实是比较困难的，而很多教师在处理这个问题时不是一笔带过就是轻描淡写，在8位教师中没有一位教师敢于向学生提问或者是解释：为什么在数学归纳法的第二步的证明中要用“假设”两字？从课后的教师访谈环节中发现，不是教师们没有考虑到这个问题，而是教师们都回避触及这个问题，因为一旦这一问题抛出，有可能学生的回答脱离教师的预设，使得教师无法掌握学生放任的思维，另一方面，教师认为自己对这一问题也无法进行清晰的解释，从而影响公开课的正常进度，进而影响优质课评选的结果.但教师们都忽略最重要的一点：这一知识点正是这节课最重要的难点之一，在数学归纳法起始课的教学中，教师是应该让学生弄清楚搞明白的，否则，学生只是掌握了数学归纳法的“形”，而没有真正掌握数学归纳法的“神”.

其实教师完全可以在“数学归纳法”证明第二步的讲解中向学生揭示数学归纳法的精髓，第二步是一种归纳递推，运用数学归纳法证题时必须分成两个步骤，也就是看所给命题是否分别符合条件（l）和条件（2），这里（l）和（2）是互相独立的两个条件.（l）只是断言P（1）为真，（2）实质上是一个命题，即如果P（k）真，则有P（k+1）真.“如果有P（k），则一定有P（k+1）”这种关系中，至于是不是真的有P（k），则在此命题中并未被断定.这就好像命题“如果1＞2，那么4＞5”这是真命题，因为尽管1＜2，但如果有1＞2，则由不等式的性质有1+3＞2+3，即4＞5.至此，学生就会明白（2）中的命题“P（k）→P（k+1）”实质上断定的是一种关系，而不是对P（k）的断定.如果更形象一点说，（2）所断言的是有了一台功能特殊的“递推机”，该递推机的功能是：只要把原料P（k）递进去，那么该机便能输出P（k+1）这个产品.当然，有了递推机并不能保证一定有原料.现在就可结合条件（1）来看数学归纳法.条件（1）断言了P（1）为真，而条件（2）就是一台递推机，这样将P（1）作为初次原料送进递推机，根据递推机的功能，它立即输出P（2），有了P（2）就可以再把它作为原料送入递推机，于是就有了P（3），如此重复地运用递推机，就可相应地得到P（4），P（5），…这样就看清楚了数学归纳法的“递推机”在有初始原料P（1）的情况下的“工作”原理，这里实质上也就是数学归纳法为什么能作为一个严密的证题方法的逻辑原理.因此应该让学生清楚：数学归纳法是一种演绎推理，是典型的三段论，而这种演绎推理又是为了归纳.数学归纳法与一般归纳法的根本区别在于，数学归纳法具有明确的论证意识，通过应用归纳步骤和传递步骤来确保论证的严密性和正确性.

如果因为教师自身感到某个数学思想不自然，所以就放弃对它的诠释，那就放弃了一次让学生真正体验“数学化”思想的历程，学生也就失去了一次数学理性思维提升的过程.教师应该展示数学归纳法的形成过程，在数学课堂上让数学归纳法的原理水到渠成.在教学过程中让学生学到的不仅仅是形式和抽象的理论，而是让数学归纳法的思想真正走入学生的内心世界[3].

2.3 注重类比启发探究式的教学方法

作为经典的类比启发探究式教学法，如何在数学归纳法教学中发挥作用，其中几位老师的教学过程归纳如下，值得借鉴.

2.3.1 输入阶段——创造学习情境 提供学习内容

教学片段1：创设问题情境，启动学生思维

（1）不完全归纳法引例.

明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的.

（2）完全归纳法对比引例.

有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案.大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生.显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明.

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法.这些归纳法却不能用完全归纳法.

教学片段2：回顾数学旧知，追溯归纳意识

（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到以前的学习中其实早已接触过归纳.）

（1）不完全归纳法实例：给出等差数列前4项，写出该数列的通项公式.

（2）完全归纳法实例：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上3种情况.

教学片段3：借助数学史料，促使学生思辨

（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位、多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是研究者还是数学大家都可能如此.那么，有没有更好的归纳法呢？）

问题1 已知＝(n2−5n+5)2（n∈N），

（1）分别求a1，a2，a3，a4.

（2）由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？

（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力.概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，所找的突破口就是学生的概括过程.）

问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，22n+1一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的.后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了225+1＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测.没想到当n＝5这一结论便不成立.

问题3f(n)=n2+n+41，当n∈N时，f(n)是否都为质数？

验证：f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，f(10)=151，…，f(39)=1 601.但是f(40)=1 681=412，是合数.

2.3.2 新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用 搭建新知结构

教学片段4：搜索生活实例，激发学习兴趣

（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理，揭示递推过程.孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验.）

实例：播放多米诺骨牌录像

关键：（1）第一张牌被推倒；（2）假如某一张牌倒下，则它的后一张牌必定倒下.于是，可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下.

搜索：再举几则生活事例，如推倒自行车，早操排队对齐等.

教学片段5：类比数学问题，激起思维浪花

类比多米诺骨牌过程，证明等差数列通项公式an=a1+(n−1)d：

（1）当n＝1时等式成立；（2）假设当n＝k时等式成立，即ak=a1+(k−1)d，则ak+1=ak+d=a1+[(k+1)−1]d，即n＝k＋1时等式也成立.于是，可以下结论：等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d对任何n∈N*都成立.

（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习.）

教学片段6：引导学生概括，形成科学方法

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；

（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确.

完成这两个步骤后，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确.

这种证明方法叫做数学归纳法.

2.3.3 操作阶段——巩固认知结构 充实认知过程

教学片段7：蕴含猜想证明，培养研究意识

（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力.）

例题 在数列{}中，＝1，a=（n∈N*），n+1先计算a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式，最后证明你的结论.

（2）（第64页练习3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是=aqn−1.1

教学片段9：师生共同小结，完成概括提升

（1）本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；

（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；

（3）数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推（递归）思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；

（4）本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想.

教学片段10：布置课后作业，巩固延伸铺垫

（1）课本第64页练习第1、2题；第67页习题2.1第2题.

（2）在数学归纳法证明的第二步中，证明n＝k＋1时命

教学片段8：基础反馈练习，巩固方法应用

（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点.练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充.通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.）

（1）（第63页例1）用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.题成立，必须要用到n＝k时命题成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：

用数学归纳法证明：1+2+22+23+…+2n−1=2n−1（n∈N*）时，其中第二步采用下面的证法：

设n＝k时等式成立，即1+2+22+23+…+2k−1=2k−1，则当n＝k＋1时，

你认为上面的证明正确吗？为什么？

上面归纳的几位老师的教学过程中，充分运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是加强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展.

3 回归“数学化”课堂教学的讨论

通过以上对“数学归纳法”数学化教学的解读与探讨，针对现今某些表面热闹，实则缺乏数学化味道的现象，试图唤回原汁原味的数学教学，回归“数学化”课堂教学.

3.1 “数学化”的含义解读

将某物转变成某种性质或状态的过程就是“化”，它也是一种观念意义上的推广和普及.人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律，这个过程就是“数学化”.即把数学的高度抽象性、严格逻辑性、语言简明性、广泛实用性集中用于人类进行理论思维、逻辑分析、认识客观世界上，以达到规范系统的高度.“数学化”通过一种组织与构建的活动，运用已有的知识与技能去发现未知的规律、关系和结构.简言之，数学地组织现实世界的过程就是数学化.基于上述数学化的思想，弗赖登塔尔提出：与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化；与其说让学生学习公理系统，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化.学生数学化的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、抽象的过程.数学化实际上还要注重数学课堂的规范[4～6].

3.1.1 数学课堂规范化的内涵

数学课堂规范是指特殊的社会群体教师和学生在教室特定环境下行为和思维的规矩和准则，反映师生在课堂上交互衍生出的、具体化的社会关系.

所谓的数学课堂规范化是指教师和学生在课堂环境下针对特定数学进行交互作用而产生的数学行为和数学思维的规则和标准.具体来说，由于教育塑造和培养的是适应社会需求的人，所以数学课堂规范一方面具备社会规范的功能，课堂须遵循成文的法律、规章制度、纪律和秩序等和不成文的约定俗成的习俗、道德和伦理规范.同时由于学生是凭借已有的生活经验和数学现实建构数学或对数学意义的理解，那么数学学科本身的概念、法则、定理和知识体系在发展过程中约定俗成的数学规范或标准会制约着数学课堂规范的生成和发展，所以数学课堂规范兼具社会规范和数学规范的功能.正因为如此，国外的研究者称之为社会数学课堂规范[7～9].

3.1.2 数学课堂规范化的形成

高中数学课程标准还指出，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法制、结论的发生发展过程和本质.数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为易于接受的教育形态.这实际上说的是学生学习高中数学应该遵循什么样的规则和达到何种标准，概念理解采取何种方式、逻辑推理应有什么要求、数学本质如何认识以及怎样体会和把握贯穿数学的主要数学思想方法等，从而达到数学课堂规范的形成[7].

3.2 “数学化”课堂教学的回归

数学课是需要“形象直观”来为学生打开数学抽象之门，让学生更容易入门，也就是所谓的“非形式化”，研究者在文[6]中详细阐述了“非形式化”与“形式化”的有机结合.因此，过于“非形式化”与过于“形式化”一样的危险，研究者认为数学课就应该有数学课独特的味道，应该散发着浓厚的、原汁原味的数学味道.

3.2.1 激活数学思考 凸显数学味

数学是思维的体操，数学思考是数学课堂当然的主角.因此，教师在课堂上如何通过点燃“发现”之火、“研究”之火、“探索”之火来激活学生进行数学思考显得尤为重要.一个有效途径就是通过教师提问，但很多教师的提问存在“切口太大”、“切口太小”或“与数学主题无关”等问题，这样的问题无法有效地激起学生的数学思考.比如在“数学归纳法”教学中，有些教师在播放完视频后，提问：“在刚才的视频中你能说出哪些数学现象？”诸如此类的问题.教师的提问应该制造学生的认知冲突，使课堂出现了观点的交锋、智慧的碰撞.使课堂的热闹不仅仅停留于学生肢体的活动，更要体现在学生思维的活动中.让数学课堂成为一个数学研究室，学生在此经历了观察、实验、证明等数学活动过程，从而发展了合情推理能力和初步的演绎推理能力，教师善于制造认知冲突，把学生推到自主探究的前台，使学生亲身经历“做数学”的过程，从而激发学生思考，激活数学思维[10].

3.2.2 调整学习方式 散发数学味

教学中，教师必须尊重学生的选择，允许学生根据自身的需要选择学习内容，为学生创设自由、民主的合作氛围，让不同的学生自己动手实践、自主探索、合作交流.例如：在“数学归纳法”的教学中允许学生自己做“多米诺骨牌”的实验，分组实验，通过动手实验，合作交流，观察比较，归纳总结出骨牌全部倒下的条件，由于结果是学生自己得出的，学生掌握的知识就会比较牢固，这样，让学生亲身经历知识的探索过程，感受知识的来龙去脉，使学生的认识从感性提升到理性，这样的学习方式可以让学生体验到数学课中的数学味[11].

3.2.3 提炼数学思想 品味数学味

数学教学内容是“数学基础知识”、“数学方法”和“数学思想”的有机结合，其中“数学思想和方法”是数学的灵魂，被认为是构成“数学味”的核心要素.数学思想和方法在教材中大多没有直接的文字表述，而且不成体系地散见于教材的各章节之中，或隐藏在课后的习题之中，往往被教师所忽略.因此，在课堂教学中要努力分析教材，吃透文本，尽力去挖掘知识能力背后所蕴涵的数学思想，然后把它巧妙地融入学习过程中，让学生感悟、体会，能静下心来品数学，通过数学的学习提高学生的思想境界和认识能力，在不知不觉中静静地品出数学的味道.例如“数学归纳法”的教学中，鼓励学生运用“类比”的思想提炼出数学归纳法的步骤，让学生从数学的角度思考问题，提炼数学思想，有效培养学生思维的深刻性，也让学生真正品味了数学味道[12～13].

3.2.4 生活问题数学化 张扬数学味

数学源于生活，也必须根植于生活.教师在教学时要引导学生从生活实际出发来学习和掌握数学.在情境中或者练习环节中多提供联系生活实际的素材是一种有效的方法.但现在有些公开课中使用的生活实例仅仅是为了引出课题，缺乏真正的数学味道，这是不可取的.比如在“数学归纳法”的教学中，有些教师使用了“禽流感”实例，但仅仅停留在引课阶段，引出课题后就弃而不用了，其实还可以继续以“禽流感”作为载体，深入挖掘其中隐含的数学问题，让从生活问题抽象出数学问题使数学课堂飘洒出数学味道.如果说数学知识是学生主体性发展的基础，那么，让学生经历数学知识的发生、发展的过程，则是发展学生主体性所必不可少的前提.只有通过数学活动，真正把数学课上出数学味来，才能激活学生的数学思维，使之不断迸射出创新的火花，并在活动中体验数学的逻辑美，从而形成一种求真、求实、求美的科学态度[14～20].

4 结 束 语

作为一名数学教师，要了解数学知识的发展史，要深入分析每一个知识点的理论基础，只有具备丰富的、富于思想性的认识，才能教育出有数学思考能力的学生；作为一名数学教师，还要正确把握学生的理解程度和接受能力，以最大限度追求“数学化”课堂教学为主要目标，让学生在数学课堂上享受每一分钟的数学思考，让学生的数学思维能力得到真正意义上的提升.

[1]赵龙山.有关数学归纳法教学中的逻辑问题[J].数学通报，1992，（9）：41-47.

[2]冯进.数学归纳法的发展历程[J].常熟理工学院学报，2008，22（8）：19-26.