中英初中数学教科书难易程度的比较研究——以中国“人教版”和英国《数学连接》为例

周九诗，王延文

（天津师范大学 教师教育学院，天津 300387）

1 问题的提出

纵观世界各国的教育改革运动，几乎每一次首当其冲的都是数学课程改革，数学课程的改革大多都会对数学教科书进行变动，教什么永远比怎么教更重要[1].研究者普遍认为，教师在日常教学中相当依赖教科书，在很大程度上依据所使用的教科书而决定教什么、怎么教以及给学生布置哪些习题等[2].因此，选择中国和英国两个国家初中数学教科书作为研究对象，从教科书难度角度进行比较分析，以期对中国数学教科书的编写与使用提供一定的借鉴与参考，对中国正在进行的数学课程改革具有重要的参考价值.

2 研究设计

2.1 研究对象

中国教科书选择人民教育出版社2008年出版的初中《数学》（简称“人教版”），共6册，是目前国内实践领域影响较大，使用较为广泛的教科书之一.

英国教科书选择由最新英国数学课程标准（2007年颁布）设计而成的《数学链接》，《数学链接》由英国牛津大学出版社于2009年出版，分为七、八、九3个年级，每个年级各自有1本，共3本，目前在英格兰的许多中学使用.

2.2 研究问题

从5个知识主题入手，比较中英初中数学教科书的难度，这5个知识主题分别为：数与代数的数与运算、方程、空间与图形的三角形、空间图形（立体）和统计与概率的统计.

每个知识主题的难度从内容广度、内容深度、例题难度和习题难度这4方面进行考虑，这4方面对于每个知识主题的难度贡献的权重，经层次分析法确定为0.28、0.30、0.20、0.22.每个知识主题对教科书综合难度的权重，为此知识主题所占此教科书中5个知识主题总页数的百分比.

2.2.1 内容广度

内容广度指课程内容所涉及到的领域和范围的广泛度，采用史宁中、孔凡哲等人所研究的内容广度量化指标[3～4]，以课程内容所包含“知识点”的个数来刻画内容广度.

“人教版”中数与代数的数与运算的知识点为：正数负数；有理数；无理数；实数；数轴；相反数；绝对值；有理数的大小比较；整数的加法；整数的减法；整数的乘法；整数的除法；有理数四则运算顺序；乘方；加法交换律；加法结合律；乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律；科学计数法；近似数；有效数字；平方根（算术平方根）；立方根；开方；计算器求平方根立方根；二次根式加减法；二次根式乘除法，共计28个知识点，所以其内容广度为28.

《数学链接》中数与代数的数与运算的知识点为：负数；整数大小比较；整数的加法；整数的减法；整数的乘法；整数的除法；近似数；平方根；开方；计算器求平方根立方根；比；最简比例；比的应用；比例尺；运算顺序；最小公倍数；最大公因数；整除性质；素数；平方数；最简分数；分数性质；分数加减；分数乘除；假分数带分数；小数比较；小数加法；循环小数；百分数；小数百分数互化；小数分数互化；小数分数应用；整数加法心算；整数减法心算；整数乘法心算；整数除法心算；位值；坐标轴，共计38个知识点，所以其内容广度为38.

“人教版”中涉及方程的知识点为：方程；列方程；方程的解；方程性质；一元一次方程；解一元一次方程；一元一次方程应用；二元一次方程（组）；二元一次方程组的解；代入消元法；加减消元法；二元一次方程组应用；三元一次方程组；分式方程；分式方程解法；一元二次方程；配方法；公式法；因式分解法；根与系数关系；一元二次方程应用；一元一次与一次函数；一次函数与二元一次方程组；二次函数与一元二次方程，共计24个知识点，所以其内容广度为24.

《数学链接》中涉及方程的知识点为：方程；列方程；方程的解；解方程；逆运算法；一元一次方程；解一元一次方程；应用；映射与函数；直线方程，共计10个知识点，所以其内容广度为10.

“人教版”中空间与图形的三角形的知识点为：三角形概念；三角形分类；三边关系；内角和定理；外角；中线；尺轨作图；稳定性；全等三角形；全等三角形性质；判定三角形全等（SSS）；判定三角形全等（SAS）；判定三角形全等（AAS）；判定三角形全等（HL）；等腰三角形；等腰三角形性质；等腰三角形判定；等边三角形；直角三角形性质；直角三角形判定；勾股定理；逆定理；勾股定理应用；相似三角形；相似三角形性质；相似三角形判定；正弦；余弦；正切；特殊角三角函数；解直角三角形，共计31个知识点，所以其内容广度为31.

《数学链接》空间与图形的三角形的知识点为：三角形分类；三角形面积；三边关系；内角和定理；外角；三角形画法；等腰三角形；等腰三角形的概念；角的作法SAS；角的作法ASA；三角形的作法SAS，共计11个知识点，所以其内容广度为11.

“人教版”中空间图形（立体）的知识点为：长方体正方体；圆柱；圆锥；球；棱柱；棱锥；直棱柱侧面展开；圆锥侧面展开；立体图形画法；投影（平行中心）正投影；三视图，共计11个知识点，所以其内容广度为11.

《数学链接》空间图形（立体）的知识点为：长方体；圆柱；圆锥；球；棱柱；棱锥；几何体展开图；三视图；立方体体积和表面积；等距图；3D图形的二维示意图；小立方体构成图形；长方体的表面积；面、棱、顶点、底，共计14个知识点，所以其内容广度为14.

人教版中统计与概率的统计的知识点为：抽样调查；样本（总体 个体 样本容量）；条形图；扇形图；直方图；平均数；加权平均数；样本估计总体；中位数；众数；极差；方差；频率，共计13个知识点，所以其内容广度为13.

《数学链接》中统计与概率的统计知识点为：数据收集；离散数据；连续数据；数据整理；样本容量；样本代表性；条形图；双条形图；双线形图；饼状图；直方图；茎叶图；时间序列图；折线图；散点图；读取和解释图表中的数据；比较统计图表；平均数；样本估计总体；中位数；众数；极差；频数表；频数；调查报告撰写；调查设计；问卷设计；图表的解释；数据/分布的比较；象形图（pictogram），共计30个知识点，所以其内容广度为30.

总体来看，对于这5个知识主题来讲，人教版教科书包含107个知识点，《数学链接》包含103个知识点，两套教科书的总知识点量差别不大.在“数与代数的数与运算”和“统计与概率的统计”方面，英国教科书所含知识点数均超过中国人教版教科书，英国教科书中“统计与概率的统计”所含知识点是中国相应主题的2.3倍.另一方面，中国教科书在“方程”和“空间与图形的三角形”这两方面的知识点数量均比英国教科书多，“空间与图形的三角形”知识点个数含量为英国教科书的2.8倍.此外，两国在“空间图形（立体）”知识点数量相近.

2.2.2 内容深度

内容深度（S）泛指课程内容所需要的思维深度，较为抽象，主要从每个知识主题中概念、命题的呈现方式来刻画.概念、命题的呈现方式主要分为3级指标：直观描述、归纳、演绎，对这3级指标赋值依次为“1、2、3”，将其作为权重，对每个知识主题所涉及的概念和命题进行加权平均.SCi(i=1,2,3,4,5)表示中国人教版教科书中第i个知识主题内容深度的加权平均值，SEi(i=1,2,3,4,5)表示英国《数学链接》教科书中第i个知识主题内容深度的加权平均值，如SC1表示中国人教版教科书中第1个知识主题（数与代数的数与运算）内容深度的加权平均，SE3表示英国《数学链接》教科书中表示第3个知识主题（空间与图形的三角形）内容深度的加权平均.则有，

可以看出两个国家都是“空间与图形的三角形”这一知识主题内容深度最深，“统计与概率的统计”内容深度最浅.此外，中国教科书的5个知识主题在内容深度上均超过英国教科书，以“空间与图形的三角形”差距最大，中国此知识主题的内容深度是英国相应的1.72倍.

2.2.3 例题和习题难度

依据曹一鸣、史宁忠、宋乃庆主持的全国教育科学“十二五”重点课题——“中小学理科教科书国际比较研究”的相关研究，影响数学例、习题难度的因素主要包括知识点数量、背景水平和要求水平这3个因素，每一个因素又可以划分为不同的水平（具体划分见表1），数学例、习题难度的综合模型为：

其中，di(i=1,2,3)依次表示“知识点数量”、“背景水平”和“要求水平”3个难度因素上的取值；dij表示第i个难度因素的第j个水平的权重；nij为第i个难度因素中第j个水平题目的个数，nij的总和为该组所有题目个数.表2～6分别是中、英两国5个知识主题例、习题难度的量化指标.

表1 各难度因素的不同水平划分

表2 中国和英国教科书“数与代数的数与运算”例题和习题难度量化指标

表3 中国和英国教科书“方程”例题和习题难度量化指标

表4 中国和英国教科书“空间与图形的三角形”例题和习题难度量化指标

表5 中国和英国教科书“空间图形（立体）”例题和习题难度量化指标

表6 中国和英国教科书“统计与概率的统计”例题和习题难度量化指标

例、习题难度分别从要求水平、包含知识点数量、背景水平3方面进行统计分析，运用层次分析法得到这3面权重依次为0.38、0.36、0.26.LCi(i=1,2,3,4,5)表示“人教版”教科书5个知识主题中第i个主题的例题难度，XCi(i=1,2,3,4,5)表示人教版教科书5个知识主题中第i个主题的习题难度，LEi(i=1,2,3,4,5)表示英国教科书5个知识主题中第i个主题的例题难度，XEi(i=1,2,3,4,5)表示英国教科书5个知识主题中第i个主题的习题难度.如人教版第1个知识主题“数与代数的数与运算”的例题难度用LC1表示为LC1=0.38×1.4+0.36×1.154+0.26×1.308=1.288.经计算得：

可以看出中国例、习题难度在这5个知识主题方面均超过英国，在“空间图形（立体）”方面两国例、习题难度比较接近.在例题方面，两国在“空间与图形的三角形”与“统计与概率的统计”差距较大；在习题方面，两国在“方程”方面差距较大.纵向来看，英国习题难度都要略高于相应例题难度，中国虽然在前4个知识主题中的习题难度比相应例题难度相对较高，但是在“统计与概率的统计”方面的习题难度略低于相应例题难度.

2.2.4 教科书综合难度

首先，确定每个知识主题的难度.从内容广度、内容深度、例题难度和习题难度这4方面进行考虑，这4方面的权重经层次分析法确定为0.28、0.30、0.20、0.22，见表7.

其次，确定教科书综合难度.《数学链接》分为七、八、九3个年级，每个年级各自有1本，共3本，总计804页，5个知识主题所占页数依次为279、72、25、37和87；中国人教版初中数学教科书共6本，总计956页，5个知识主题所占页数依次为101、113、138、49和61.以每个知识主题占5个知识总体的总页数比作为此知识主题难度的权重，可以得出英国初中教科书《数学链接》的综合难度为1.132，中国人教版初中数学教科书的综合难度为1.460（见表8）.

3 研究结论

（1）在整体上，中国人教版教科书的综合难度水平高于英国牛津版《数学链接》，并且5个知识主题“数与代数的数与运算”、“方程”、“空间与图形的三角形”、“空间图形（立体）”和“统计与概率的统计”难度也均高于英国教科书的相应主题.

（2）在两国教科书每个知识主题的难度比较上，“方程”和“空间与图形的三角形”这两方面差距较大，中国“空间与图形的三角形”难度为英国相应主题的1.63倍，与英国教科书相比，中国教科书在这两方面涉及的知识点多，内容深，例、习题难度也较大.两国在“统计”难度上差距最小，中国仅为英国的1.049倍.

（3）在内容广度上，英国教科书在“数与代数的数与运算”和“统计与概率的统计”这两方面所含的知识点数均超过中国人教版教科书，而中国教科书在“方程”和“空间与图形的三角形”这两方面的知识点数量均比英国教科书多，两国在“空间图形（立体）”知识点数量相近.

（4）在内容深度上，两个国家都是“空间与图形的三角形”这一知识主题内容深度最深，“统计与概率的统计”内容深度最浅.中国教科书的5个知识主题在内容深度上均超过英国教科书，其中“空间与图形的三角形”差距最大.

（5）在例、习题难度上，中国在5个知识主题的3个难度因素水平上都普遍高于英国，只有在“数与代数的数与运算”的背景水平上中国不如英国高，这可能与中国在数与运算上过于重视算式计算有关.在例题难度上，两国在“空间与图形的三角形”差距较大，中国为英国的1.38倍，这也和两国在此知识主题内容深度上的较大差距相吻合.纵向来看，英国习题难度都要略高于相应例题难度，而中国在“统计与概率的统计”方面的习题难度略低于相应例题难度，这可能和中国课标对“统计”要求不高有关.

表7 各个知识主题难度

表8 中英两国教材综合难度

致谢：感谢北京师范大学曹一鸣教授、吴立宝博士在研究与写作过程中给出的诸多指导与帮助.

[1]张奠宙，赵小平.教什么永远比怎么教更重要[J].数学教学，2007，（10）：封底.

[2]姜美玲.教师实践性知识研究[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

[3]史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2005，（6）：151-154.

[4]孔凡哲，史宁中.四边形课程难度的定量分析比较[J].数学教育学报，2006，15（1）：11-15.