高职高等数学课堂教学中的互动解题研究

邱云兰，曾 峥

（1.韶关学院 韶州师范分院 数学系，广东 韶关 512009；2.韶关学院，广东 韶关 512005）

1 问题的提出

传统的高等数学课堂教学的解题模式，大都是老师一言堂，学生只是被动地接受知识，这大大降低了高职生上课的积极性，不利于培养学生的学习兴趣和创新思维.研究型的互动解题，可以调动学生上课的积极性，培养创新思维，活跃课堂气氛，增强学习兴趣，减少师生隔阂，提高教学质量.这种模式要求老师与学生之间互动，学生与学生之间互动，教师只起指导作用，帮助学生提出问题、分析问题、解决问题，在整个教学过程中，使学生从思想和方法层面首先踏上台阶，使独立探索精神以及相应的能力和实践习惯得到有效培养[3].

当今的高职生，他们的优势和弱点很明显，志向远大，目标明确，奋发向上.但也有少数学生奋斗目标不明，对前途和就业前景感到困惑，学习浮而不实，知识面窄而不知如何去拓宽、整合、描述和应用.这与当前中国中学数学教学，以教师为中心，以中考、高考为目标，以单向传输为主要方法的课堂教学模式仍为主流有关，在这种教学模式下难免会出现以下情况：

1.1 学生情况及原因分析

有的学生，课上老师一讲就懂，课下自己一做就错，甚至有些综合题不知从何下手，造成作业迟交、不交或做不完整.学生普遍认为高等数学抽象难学.高等数学开课在大学第一学期，学生没有养成适应大学学习方法和自我钻研的学习习惯，课上由于课时任务量限制，提问交流环节相对较少.一方面，学生的心理、智力、认知风格、学习态度和学习方法制约着学生的学习兴趣；另一方面，学生的知识基础、学习态度、发展水平、能力、经验、质疑与解题过程中的反思制约着学生的学习效果.学生难免有一些非常特殊的原因，例如，生病、工作忙、忘记带作业、其它学科正好作业也多，出现挤压现象；有些习惯不好、学习方法不当、时间抓得不紧、基础差、确实不会；缺乏灵活运用概念公式的能力，学习动力不大，应用性、实践性不够，难以找到解题一般规律.

教学是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程，高等数学的课堂教学应围绕问题展开，如何通过个别现象分析提出合适的问题？如何通过这些问题的分析，建立相关的概念，以及发现可能解决的问题和途径？如何学会猜想、归纳、解题？教材是不会教这些东西的[4].

1.2 教师情况及处理方式

一些中学数学与大学高等数学息息相关的内容被删除或选学，要补充的内容和题目越来越多，老师越讲越细，如果学生对讲过、做过的题目还不会做，就会埋怨学生不刻苦，脑子不灵，不会模仿.教师认为高等数学难教，作业难以批改.作业是学生寄托老师对自己学习进步、学习态度和学习潜能的展望，教师可以从作业中看到教学问题，掌握知识情况、学习态度和学习方法.作业能否充分体现对学生学习关怀和成长的关爱，与教师的敬业精神、工作责任感和教学方法有密切的关系.例如，面对学习态度不端正，不经过思考抄袭的作业，写上批注，“最近很忙吗？这门课程需要老师特别帮忙吗？把你的解答讲解给同学好吗？”把抄袭错误的解答在课堂讲评，对作业马虎、字迹潦草、书写混乱的作业除了在作业本上批改，还用做得规范的作业来激励他们，“你们是会计专业的学生，你们将来要到单位做财务会计，用这样的字迹做帐行吗？没有特殊原因不按时交作业可以吗？”学生们对这些做法反映强烈，体现教师的敬业精神和高度的工作责任感，从而使学生感到老师的关怀，激发学生努力学习的热情.

高等数学中的概念大多抽象程度高，教学内容多而深刻，知识点密集；认知过程中障碍较多，知识衔接欠佳.中学数学新课标，对原有的内容作了较大调整，增删了不少内容.如反三角函数与三角方程的主要内容，三角公式减少了许多，和差化积、积化和差公式等不作要求，高等数学“十一五”规划教材和“十二五”精品规划教材，仍然保留了不少与删去或选学内容有关的传统题目.如果授课时不适当补充这些内容，推导反三角函数的导数公式和有关计算，如计算有一定困难.但通过建立高等数学学习小组，组织学生轮流互动讨论，互动讲授已学知识和未学知识，使得问题得到基本解决.争执不下的问题在全班互动解决，组内学习能力强的学生有责任教会后进生，后进生有机会代表小组在全班交流本组讨论的结果.每个组员都承担一分责任、获得一分收获、得到一分尊重.使被动接受变为了主动接受，娴熟单一的讲题变为启发性、开拓性的互动解题.

2 课堂教学中实施“互动解题”的尝试

教学的本质是学，教要转化为学[5].教学就是在教师的支持下，激起、强化、优化学生的互动学习的过程.教师的使命不是取代、压抑、削弱学生的互动，而是承认他们自己的权力和成果，提供支持和引导.高职高等数学课程的教学有其自身的特点[6]，要适当减少繁难的理论证明和计算，让学生理解高等数学的思想，强化其应用.所以，在互动解题时选题数量要恰当，难度要适中.

2.1 转变观念并消除顾虑是实施“互动解题”的前提

所谓“互动解题”是指在教师的引导下生生之间、师生之间在课内发生的各种形式、各种性质、各种程度的相互作用与影响.也就是教师和学生、学生与学生角色相互作用和影响的过程.“互动解题”能否在课堂上发挥主体性作用，能否将互动研究的思想渗透到教学的各个环节，能否保证教学进度和质量？能否对原教材中的问题通过条件变换、引深推广等方式挖掘教材的研究型的学习因素，等等.这往往是广大教师所关注的问题.其主要顾虑[7]：

一是认为传授、模仿效益高，学生自主参与探索时间长，担心质量下降.首先，教师要克服浮躁心理和急功近利的思想.从短期看，传授、模仿效益似乎比较高.何况，惰性是人的本质，传统解法教师得心应手、对付各种考试效果不错.站在教师角度看，把课讲懂是教师最起码的功夫[8].其实，高等数学课堂教学，要注重对学生数学思维深刻性的培养，应该有丰富的学习方式，不一定是传授、模仿效益才高.重要的是学生学习方法的探究.如果老师一定要用自己的学习方法让学生模仿，学生的学习可能显得被动.新的课堂教学应该是学生主动的，自主的学习参与，而不是被老师牵着走，直到知识目标完成.教师注重实例引入，揭示知识背景；学生围绕学习目的，小组讨论，全班交流，提出更好的学习方法和建议，效益同样也会好的.例如，求arctan1.02近似值.通过师生互动，老师不显眼地概括计算正切函数近似值的几种方法，如微分公式f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx，学生同样可以解答.

当今社会要求高职院校不仅仅培养技术工人，而要培养有整体视野和迁移能力的高素质劳动者.培养整体观与迁移能力，高等数学教育大有作为，高等数学是人类科学发展的一个里程碑，其内容（如微积分、概率、向量等）既在中学也在大学讲授，它的基础知识、基本思想对未来的职业发展无疑是必要的，对培养学生的能力起积极作用.因此，必须以促进学生全面、和谐、主动发展为价值取向.从中长期的角度去看问题，虽然学生自主参与互动解题一开始可能效益低一点，但学生的积极性高、主动性强，学生的能力和智慧能得到充分发展，学生的成就需要得到满足，自信心不断增强，这给学生提升数学素养带来不可估量的影响.

二是建立民主、平等的师生关系以后，担心学生思维误入歧途.注重求异式思维和逆向思维，注重个性轻共性，传统的思维方式和教师的威信被削弱，规范统一的教学要求难以实现，不同解法的学生难达成一致.如果没有给学生提供平等的机会，没有给学生说出最真实的看法，提出自己的疑问，没有让学生在亲身实践中去体验、去感悟.这种解题模式是难以适应中国现代化建设所需要培养的创新型的高素质人才.教师不一定是至高无上的权威和评判是非的无情法官，而是学生的伙伴、朋友或导游，与学生融洽相处，为相互探讨和研究教法、学法提供机会，使学生在互动解题、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的解题技能和解题思维方法.

三是学生真的动起来，怕难以调控.学生解题的方法多种多样.许多意想不到的问题会突然冒出来，给教师的课堂调控带来很大的挑战，课堂活跃起来了，就迫使教师更精细地钻研教材、研究学生、设计多套预案.调控是教学的艺术，这里的知识性自我调控，是指在课堂教学中教师控制自我知识发挥的有效性，针对具有的课堂教学而言，学生所掌握的知识一般不会超过教师的知识范围.因此，教师的知识性自我调控显得尤为重要，有针对性的发挥与适度性的发挥能促进有效的教学，艺术地调控课堂教学.即使遇到教学突发事件，也会对学生出现的情况应付自如.如果教师掌握教学反馈理论和丰富经验，也会随时调节实际解题过程与解题设计有出入的地方，将解题引导到完成教学目的的轨道上来.

例如，讲授求方程的近似解时，如果这样引入，“今天我们要介绍的求方程的近似解有两种方法：一种是二分法，另一种是切线法，不过现用教材未介绍二分法”，学生说什么教材有介绍，哪一种方法好？这时教师就可以引导学生阅读“十一五”国家级规划教材，高等数学上册（第六版）.此时，仅考虑的是知识性自我调控的针对性.

教学的调控与反思是数学解题最优化的关键之一.教学反思是指教学中随时针对学生在掌握知识与技能中反映出的情况进行分析，并及时采取措施，分析已学的知识网络，解题方法和步骤，常用的数学思维方法的使用，易混淆概念的区别与联系.在教学过程中，虽然学生所学的知识不全是在教室由教师所传授的.但是，教学效果却不由教室传授的多少来决定，而是由学生学的多少来决定.那么教师的调控是关键.调控得好，互动解题始终处于良性状态，以取得好的效果.调控得不好，就会前功尽弃，教师的劳动甚至变成无效劳动.因此，教师要正确把握互动解题反思的及时性、层次性、适宜性、多样性.要做到以探究和创造性地解决教学问题为出发点，注重知识点和思维方法的学习、理解的同时有意识地让学生记忆，记关键点和重点，以追求教学实践合理性为动力，以形成教师的教育智慧为突破口，以促进师生的共同发展为根本目的.

2.2 “互动解题”让学生探索经历过程并体验实践感悟

波利亚说：“教师在课堂上讲什么当然重要，然而学生想什么更是千百倍的重要.”仅就习题课而言，如果不能很好地发挥互动例题的榜样及培养功能，不重视凸显学生的思维过程，学生悟不出解题思路和技巧，掌握所学知识就是一句空话.学生常常惊诧教师解题思路的“准、简、巧、奥”，不知教师一题在手，何尝不是“十月怀胎”，才“一朝分娩”.绝对不能只讲一招一式，而应该把教师是怎样摆脱困境，少走弯路，达到“柳暗花明又一村”的理想效果的求解过程教交给学生[7].只有这样，学生才能真正学到教师高明的解题思维方式.清代数学家华蘅芳主张“一切算法无不坦白示人”，一切解法“不求简奥，不避粗俗，惟使人易明而已”.有时要使学生领悟教师或教科书的意图，是需要先让学生探索解题经历过程，体验实践感悟.

解法1：

解法2：

解法3：

教师应发挥学生的主体作用，努力挖掘课堂教学的潜能，精心安排教学结果，解法1和2错误，解法3正确.学生学习的知识关键在于能够提取与应用，应用的一个渠道就是能够把它作为语言，能够基于所学知识阐述自己的观点[9].

2.3 “互动解题”不排除简单快捷的巧解妙法其问题在于教师要让学生体会到“简得合理”“巧得自然”

最巧最妙的是最好的，可能这只是老师自己的想法，对于学生来说，最适合自己的才是好的.好的解法应是比较符合大多数学生实际水平的方法，即较自然的解法.因此，教师在钻研题目，研究解法时要把学生摆进去，要不断反思自己的教法.从漂亮解法中感受到人类智慧的力量与创造精神，即要追求的并不是形式上的简和巧，并不是毫无悬念的解题实践，而是要揭示思维过程，启迪学生心智.自然，就意味包含着从人的常理出发，如何进一步达到成功的整个历程；也意味着充满从挫折到成功、从繁到简、从劣到优、从粗糙到完善的不断发展的过程，才能吸取到智慧和力量，从而变得更加聪慧[10].

例2 计算

解法1：换元法，设x=2sint，则dx=2costdt，当x=0时，t=0，当x=2时，t=.

引领学生互动，通过互动学生得出如下两种解法.

通过两种解法的比较，让学生在理解定义公式的同时，感受到学习高等数学要充分挖掘几何直观，实现由几何直观发现概念，到理解性应用概念，再到探索概念的严格性，并在此基础上提高抽象逻辑思维能力.

3 尝试“互动解题”实现师生形成共同进步的学习共同体

互动解题包括4个基本环节：提出问题—自主探索—合作交流—适时评价.提出问题是指引入实例及习题，自主探索是指根据实例及习题展开讨论，合作交流是指把各自探索的结果进行交流，由于例习题的题型多种多样，解题难以找到有效的万能模式.把握解题或证题切入点，监控解题或证题过程的调节点，审视解题后的反思点，评价自主探索，合作交流的生长点.例习题的引入与设计要把握两点：一是通过互动解题使学生有身临其境的感觉，从而实现对数学知识的自主构建；二是解答问题要达到“激疑”的效果，使学生对所提问题有“意想不到”的感觉，高职生掌握了不少初等数学，利用初等数学和高等数学的有关知识对问题的研究，使他们认识到.感觉到的东西不一定能正确认识，而只有认识了的东西才能更深刻地去感悟它[11].

3.1 尝试“互动解题”善待解题错误并揭示解题病因

高效的教学是通过优化教学行为，将各个教学环境高效整合到一起，促进学生高效参与数学学习，并获得优秀的认知成绩、良好的认知结果、积极的数学学习情感、较强的教学效率意识、浓厚的理性思维、较强的数学学习能力的行为[12].高等数学的思想和方法高于初等数学，教学中要注重初等数学与高等数学的融合，用已知的知识培养学生，用科学的方法引导学生.这就要求教师从自我学习的体系以及自我知识体系出发，居高临下地对所讲授的知识进行概括，使学生从思想和方法上对所学内容有全景性的领会.

例3 计算

引领学生互动，通过互动学生得出如下3种解法.

解法1：

解法2：

解法3：

解：

建构主义学习观认为：学习并非学生对教师所授予知识的被动接受，而是以其已有的知识和经验为基础的主动建构.所以说学生的认知错误有着深刻的认识论根源，教师应理解、宽容学生的错误.学生说错或解错不能说他们“不认真”、“脑子笨”、“幼稚”等.纠正学生的认知错误不可能通过外部的强制和管束轻易地实现，关键是怎样在学生的头脑中引起概念冲突，从而使学生自觉地实现知识的必要重组和重构[13].回到计算x−2|dx的解法上来，这种解来得过快，尽管区间的分界点x=2简单求出，但这一步一般学生并不一定能理解，所以得出解法1、2的错误.教师不妨先设置一道习题，解方程x2−2x−3=0；求出区间分界点，就可以得出解法3的正确解答.互动解题的关键是审题，即解题思路.但是，本题的精华所在，去绝对值后前面是“+”还是“–”，还必须根据绝对值的定义.

3.2 尝试“互动解题”拓宽解题思路

“互动解题”可以提高沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移；可以拓宽思路，优化解法，完善思维过程.提高问题意识，优化思维品质，培养思维的灵活性和深刻性、批判性和发散性、适合性和创造性有重要作用.

例4 计算sin30°30′近似值.

引领学生互动，通过互动学生得出如下几种解法.

解法1：根据常用的近似计算公式，当|x|较小，x为弧度时，sinx～x得，

解法2：根据特殊角的正弦函数值，

解法3：查表或用计时器求得sin30°30′≈0.5075

设f(x)=sinx，则f′(x)=cosx，取x=，Δx=，0sin30°30′≈0.5076.

反思4种解法，解法1和2正确吗？如果sin30°30′≈0.5000，那么sin29°30′≈0.5000.而sin30°30′与sin29°30′显然不等，误差太大，则解法1和2错误，解法3和4正确.错误的原因是学生没有很好的把握近似计算公式应用过程中|x|很小所凝聚的思维过程，凝聚是数学思维方法的基本形式之一，误认为+很小，其实不小.计算sin30°30′的近似值，要经历一个“凝聚”的过程，即是由一个包含多个步骤的运算过程—求近似值.教师要充分发挥组织者和引导者的作用，有些解法可以先顺着学生思路去经历解题的过程，再群策群力进行“诊治”、改进、补充、完善，然后出示简捷巧法，不断地捕捉、选择、判断、重组各种有研究价值的新问题.

3.3 “互动解题”促进了教学质量和学生素养的提升

尝试互动解题的教学过程中，开启智慧进行“启发式课堂”、“数学微博”、“论坛提问”、“课堂试解”、“互动交流”、“电子邮箱”、“数学QQ群”等方式解惑答疑，不仅摆脱了时间与空间的限制、缩短了师生间的距离，而且促进了教学质量和学生素养的提升.

尝试互动解题，不仅仅针对课堂教学环节，兼顾学生未来的职业发展、培养目标及专业培养要求[14～19]，而且学生的综合素质得到了训练和培养.主要表现：一是，学生的资料查阅，文件检索，组织和写作能力得到训练；二是，学习高等数学兴趣浓，课堂互动有序，使学生得到了较大的满足感和成就感；三是，学生的语言表达能力和交流沟通能力、审题、解题能力，以及提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力得到提高；四是，学生的团队精神和合作能力得到培养；五是，师生之间的情感交流和学生的创新意识得到体现.从而，达到“让学生在互动中解题，在发现中获取，在成功中升华”.

[1]常淑风，黄加卫.议数学解题中的三个关键点[J].数学通报，2007，（12）：6-9.

[2]黄荣金，陈月兰，赵小平.专家教师评数学课[J].数学教育学报，2005，14（1）：52-56.

[3]张学润，王中东，徐向红.研究型教学在高等数学教学中的实施与浅析[J].数学教育学报，2012，21（1）：85-86.

[4]曹广福.说课[J].数学教育学报，2009，18（1）：8-9.

[5]郭思乐.以生为本的教学观：教皈依学[J].课程·教材·教法，2005，25（12）：14-22.

[6]马利军.试论《高等数学》课程建设中的三种意识[J].数学教育学报，2009，18（2）：94-96.

[7]程晓亮，刘影.高等数学教学策略再思考[J].数学教育学报，2012，21（2）：78-80.

[8]陆慧菊，卢明.数学教学中导入“互动教学”理念的尝试[J].数学通报，2007，（2）：15-17.

[9]林夏水.数学观对数学及其教育的影响[J].数学通报，2007，（4）：5.

[10]李淦林.怎样才算好的解法[J].中学数学研究，2007，（5）：3-6.

[11]刘耀斌.《数学教学论》探究性教学模式的探索[J].数学教育学报，2010，19（6）：89-93.