数学课堂教学立意的“层次”“关系”及“提升”——由“完全平方公式”同课异构引发的思考

石树伟

（扬州市广陵区教育局 教研室，江苏 扬州 225001）

王国维在《人间词话》中指出：“词以境界为最上.有境界则自成高格，自有名句.”[1]同样，数学课堂教学以立意为最上，立意高远则自会育人，自成经典.教学立意即教师教学的主观意旨，包括教学原则、方法、目标设置、程式选择等，它是教师践行其教学理念，实现其教学价值追求的核心.

研究者曾参加了一次以“完全平方公式”为课题的同课异构教研活动，听了3节研讨课并参与评议，引发许多对教学立意的思考.

1 教学立意的3种层次

3节课体现3种层次的教学立意，下面结合课例作简要分析.

1.1 授之以鱼——知识立意

【教学流程】甲老师“完全平方公式”一课教学流程如下：

1.探索活动：

（1）如何计算图1中大正方形的面积？你有什么发现？

（2）你能用多项式乘法运算法则推导出(a+b)2=a2+2ab+b2吗？

（3）尝试运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2计算(a-b)2吗？（引导学生感受转化的思想以及知识之间的内在联系）

（4）观察完全平方公式，你能说出这两个公式的结构特点吗？

2.公式应用：

（1）例1.用完全平方公式计算：①(5+3p)2；②(2x-7y)2；③(-2a-5)2.（第③小题引导学生用不同方法计算，深刻理解、灵活应用两个公式）

图1

（2）练习1：与例1类似的模仿性练习.

（3）例2.简便计算：①982；②(1002.

（4）练习2：与例2类似的模仿性练习.

3.课堂小结：完全平方公式的特征及语言描述.

4.课堂检测：当堂训练，当堂反馈.

甲课安排有“探究”活动，教师通过引导学生计算正方形的面积“探究发现”完全平方公式，但学生会有疑问：这样的正方形哪里来的？为什么只计算它的面积而不计算其它几何量？老师是怎么知道计算这样的正方形面积就能得到完全平方公式的？从教学设计实施情况看，通过计算正方形面积能快速引导学生“发现”完全平方公式，但这样的探究仅是名义上的探究，学生没有丰富的探究空间，而是一步一步钻进教师预设的“圈套”，被教师牵着鼻子去快速发现“新知识”，其实是一种“假探究”[2].

教学中公式应用按题型分类，及时巩固反馈，有利于学生模仿应用并熟练掌握完全平方公式，形成相应的计算技能.

通过以上分析，研究者认为甲课学生基础知识、基本技能掌握较好，达到了授之以渔的教学效果，课堂教学立意是知识立意的层次.

1.2 授之以渔——能力立意

【教学流程】乙老师“完全平方公式”一课教学流程如下：

1.探索活动：

（1）计算下列各式，你能发现什么规律？

（2）推广到一般，你能归纳得到什么运算公式？你能推导它吗？

（3）完全平方公式有什么特征？如何用语言描述？

2.公式应用：与甲课例1和练习1类似，略.

3.几何解释：你能根据图1和图2两个正方形的面积分别说明两个完全平方公式吗？

4.应用拓展：尝试计算(a+b+c)2.

5.课堂小结：完全平方公式的特征及语言描述.

6.课堂检测：当堂训练，当堂反馈.

数学思维中，演绎推理在于验证结论，归纳推理在于发现结论，归纳能力是创新能力的重要基础[3].中国过去的数学双基教学缺少对学生归纳能力的培养，而概念、定理、公式、法则教学的核心就是“归纳”.学生在学习乘法公式前已经学习了多项式的乘法运算，两个完全相同的多项式相乘在计算和实际应用中较为常见.乙课先让学生自己进行两个完全相同的多项式相乘的运算，从而总结发现规律，最后推广归纳一般结论——完全平方公式，公式的来龙去脉清楚，学生真正经历了“由特殊到一般”这一公式的发现和归纳过程，有利于学生创新意识和能力的培养.

应用拓展中让学生尝试计算(a+b+c)2.有的学生先画一个正方形，然后将边长分成a、b、c三段，再通过计算面积得出结果；有的学生将(a+b)或(b+c)看成一个数从而利用完全平方公式得出结果，较好地渗透应用了数形结合思想、化归转化思想、整体思想等数学思想，有利于培养学生在新情境下应用所学知识分析和解决问题的能力.

图2

通过以上分析可以得到：乙课重视在掌握双基的基础上培养学生的各种数学能力，达到了授之以渔的教学效果，课堂教学立意是能力立意的层次.

1.3 授之以育——生本立意

【教学流程】丙老师“完全平方公式”一课教学流程如下：

1.探索活动：

（1）前面已经学习了多项式的乘法，你能说说运算法则吗？运算的依据是什么？

（2）(x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结果，它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例（先行组织者）.在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？（完全放手让学生探究，学生的结论多种多样，包括完全平方公式和平方差公式）

（3）完全平方公式有哪些特征？请你用自己的语言表述公式.

2.公式应用：与甲课例1和练习1类似，略.

3.几何解释：如果a、b表示线段的长，则a2、b2分别表示正方形的面积，你能根据公式形式，自己构造图形表示完全平方公式吗？

4.课堂小结：

（1）请你说说公式的结构特点及应用时应注意的问题.

（2）请你总结一下这节课讨论问题的基本过程.（从一般到特殊，考察特例）

（3）能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？

完全平方公式是多项式乘法(a+b)(c+d)在c=a，d=b时的特例，多项式乘法是完全平方公式的知识生长点.丙课充分发挥“先行组织者”的作用，引导学生在多项式乘法基础上探究特例，切合知识的发生发展过程和内在的逻辑线索，符合学生的认知规律.课堂小结时引导学生反思该课公式的探索过程，有利于学生积累基本活动经验；鼓励学生继续探究特例，有的学生提出推广次数，研究(a+b)3，(a+b)4……，有的学生提出推广字母个数，研究(a+b+c)2，有利于培养学生发现和提出问题的能力.这些教学环节的设置很好地向学生渗透了从一般到特殊、归纳的思想，教给学生数学研究的一个重要的“基本套路”——考察特例.

探索公式时学生自己寻找特例，对公式进行几何解释时自己构造图形，课堂小结时自己提出研究的问题.虽然探究教学耗时多，学生练习的量有所减少，但学生探究的空间大，是真探究，学生靠自己探究出公式，学生自己提出好的问题和研究思路.下课了学生还沉浸在浓厚的研究氛围之中，学生的成就感得到了充分的满足，学生对数学的兴趣得到了充分的激发.

通过以上分析，研究者认为丙课充分挖掘知识内容所蕴含的发展价值，成功实现了课堂教学的育人价值，充分体现了以学生发展为本的教学理念，达到了授之以“育”的教学效果，课堂教学立意是生本立意的层次.

2 三种教学立意的关系

2.1 递进关系

从知识立意到能力立意，再到生本立意，教学立意的层次越来越高，呈现出一个递进的关系.教学立意的高低直接影响着数学教学的有效性，特别是对过程与方法、情感态度与价值观两个维度的目标达成与否有重要影响.教学立意由低到高，对应着课堂教学的思想性由肤浅到深刻，对应着课堂教学的关注点由关注学生的眼前利益到关注学生的长远利益.

2.2 包含关系

认知心理学的研究清楚地表明，一个人不能“数学地”思考和解决问题的主要原因是缺乏必要的数学知识，掌握基础知识是培养数学能力、个性品质等的重要基础.知识技能既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”目标的载体[4].“情感态度”不会凭空形成，“数学思考”的魅力、“问题解决”的成功是“情感态度”形成的催化剂.因此，知识立意、能力立意、生本立意3者之间不是对立排斥的关系，而应该是一种包含关系：能力立意包含知识立意，是知识立意的升华，生本立意又包含能力立意，是能力立意的再升华.

3 教学立意的提升

3.1 教学立意提升的前提

教师一般每一节课都有自己的教学立意，或明确或模糊，有意识或下意识，模糊或下意识的教学立意一般难以至高远.教学立意提升的前提是教师应有明确的追求高远立意的意识.古人云“取法乎上，仅得其中；取法乎中，仅得其下”，教师在教学设计时应有追求高立意的意识，只有这样，在教学实施时才有可能有高质量、高效益的课堂.没有教学设计时高立意的教学追求而奢望教学实施时精彩的生成，那是教学中的“机会主义”，教学实施中的“灵机一动”是教学设计中精心谋划的顿悟而已[5].

3.2 教学立意提升的关键

数学学科教学立意提升的关键在于教师“理解数学”的能力，即教师的“数学素养”：了解数学知识的背景，能准确地把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义，能深刻领悟内容所反映的数学思想方法，具有挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源的能力和技术，善于区分核心知识和非核心知识等[6].教师只有切实提高自己“理解数学”的能力，并在此基础上进一步“理解学生”、“理解教学”，教学立意的提升才有可能.

3.3 教学立意提升的策略

许多数学课堂教学立意不高，主要表现在教师“匠气”太浓，“功利主义”盛行，缺少思想和精神的追求.提升教学立意就需要加强“先行组织者”的使用，充分挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体，提高数学课堂教学的思想性[6].通过数学这一知识载体不断地、自觉地提高人的素质，培养人的优良品质，体现数学的“育人”功能[7].

[1]王国维.人间词话[M].南京：江苏文艺出版社，2007.

[2]景敏.关注核心概念，让思想自然流淌[J].中国数学教育（高中版），2009，（9）：2-3.

[3]史宁中.《数学课程标准》的若干思考[J].数学通报，2007，（5）：1-5.

[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]陈士文.板块、独立、反馈[J].辽宁教育，2007，（10）：41-42.

[6]章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考（上旬刊），2010，（5）：2-5.

[7]胡典顺.人为什么要学数学——数学意义的哲学思考[J].数学教育学报，2010，19（4）：54-57.