甘肃哈萨克族和蒙古族六年级学生数感差异研究

范忠雄，马少仙，王锦莉

（1.西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730030；2.陕西省榆林市第十一中学，陕西 榆林 719200）

1 问题提出

数感（Number Sense）是数学新课程标准中特别强调和重视的问题.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）在总体目标中提出：“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”.那么，什么是“数感”呢？美国国家数学教师委员会把它定义为：一种数的直觉.这种感知涉及5个方面：（1）数的意义；（2）数的关系；（3）数的相关量值；（4）数与量的有意义性；（5）与数的感知相关.麦金托什等人说：“数感……体现的是应用数字和量化方法作为交流、加工、解释信息的倾向和能力.它使人们意识到数学是有某种规律的.”又说：“数感指的是一个人对数字和运算的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算法则的有效策略.”（Mcintosh等，1992）[1]数感表现的最显著的特点是对数的感知、感悟和反映[2～4]，而这种感知是一个民族历史文化的沉淀.中国是一个多民族的国家，跨文化研究结果表明，不同民族学生数感存在显著的地区差异[5].甘肃也是一个多民族的省份，全省现有54个少数民族，有天祝、肃南、肃北、阿克塞、东乡、积石山、张家川7个民族自治县.各个少数民族的居住环境也有很大的差异，大多居住在高寒山区和草原上.藏族、裕固族、蒙古族、哈萨克族以畜牧业为主，兼营林业和其它副业.研究少数民族地区的小学生数感的差异性，对改进少数民族地区数学教育，发展民族地区学生的数感具有现实意义.

2 研究方法

2.1 测试对象及其特征

在甘肃省酒泉地区选取肃北县蒙古族学校（该学校是十二年一贯制学校）、肃北县城小学、阿克塞县小学等3所学校共77名六年级学生，对他们进行数感测试，其中肃北蒙古族学校11名学生，肃北县城小学36名学生，阿克塞县小学30名学生（有一部分是汉族或其他如维吾尔族等少数民族）.发出问卷77份，收回有效问卷76份.肃北蒙古族学校采用蒙语授课，肃北县城小学采用汉语授课，阿克塞县小学采用汉语授课.所选取的3所学校都具有多语言、多文化的特点，肃北蒙古族自治县以汉语、蒙古语为主要交流语言；阿克塞哈萨克族自治县以汉语、哈萨克语为主要交流语言，少数人使用维吾尔语.由于这3所学校属蒙古族自治县和哈萨克族自治县，地处甘肃、青海、新疆3省（区）交界处，是甘肃西北部高山草原与戈壁沙漠的交汇地，两县相距60多公里，辖地人口稀少，在校学生也就少，因此样本量很小.

2.2 测试方法与数据处理

采用汤服成教授的数感测试题[5]，测试在教师的统一管理下进行，测试时间为60分钟，要求学生不能采用任何其他工具，独立作答.根据学生回答的接近程度分别赋予5、4、3、2、1分.评分时重在学生对数字的感知程度，而不关注操作的熟练程度和结果.用SPSS 16.0软件对测试结果进行统计，作方差和标准差分析，得出比较结果.

3 结果分析

3.1 学生数感的差异分析

阿克塞小学六年级学生（哈萨克族）和肃北县蒙古族学校、肃北县城小学（蒙古族）数感比较分析数据见表1和表2.从表现数感的6个维度进行统计：W1表示理解数字的意义和大小，W2表示理解并使用与数字相等的量，W3表示知道运算的意义和作用，W4表示理解并使用相当的表达，W5表示在心算、笔算和计算器使用中灵活的运用计算策略，W6表示度量的基准.

表1 蒙古族学生数感统计

表2 哈萨克族学生数感统计

表1、表2中数据表明，同一地区、同一年级哈萨克族和蒙古族学生数感不存在显著差异，但学生数感的总体水平处于中下等且发展不平衡.因此，加强民族地区学生数感教学，提高学生的数感能力是必要的.

3.2 数感能力的性别差异及其分析

哈萨克族和蒙古族学生数感能力的性别差异分析如表3所示.

表3 哈萨克族和蒙古族学生数感能力的性别差异分析

由表3中数据可以看出，哈萨克族和蒙古族学生数感能力在性别上没有显著差异.

3.3 数感能力发展的影响因素分析

3.3.1 影响哈萨克族学生数感发展的因素

（1）哈萨克语.语言在数感形成中起着重要的因素，哈萨克族有自己的语言——哈萨克语，在教学中使用的语言是汉语，所以学生在学习中不断处于语言转化中，普通话—哈萨克语—普通话，所以由于语言障碍，哈萨克族学生理解数字的运算和意义是不同步的.

（2）哈萨克族的历史.1949年以前，哈萨克族还处于宗法封建社会制度阶段.哈萨克族绝大多数人过着逐水草而居的游牧生活.新中国成立以来的今天，依然狭小封闭的生活环境中小孩见识少，对有些问题理解的不够清楚，距离感和长度感较差.在回答“估算学校离家有多远？”时，回答“我家离学校125米，我来学校要走5分钟，一分钟走25步，用25乘以5”，可见哈萨克族学生对距离的概念较差.

（3）哈萨克族民族心理.哈萨克族学生在课堂上不主动积极回答问题，凭自己的感觉理解数字.从回答问题的语句中可以看到对数字间的关系缺少敏感性.

3.3.2 影响蒙古族学生数感发展的因素

（1）蒙古族的生活环境.蒙古族学生生活环境闭塞，对距离的观念较差.从数据分析可以看出蒙古族学生在度量的基准的维度上与哈萨克族学生表现出显著差异.因而在回答“估算学校离家有多远？”时，“我家离学校1千米，因为我每天走5趟”.学生的数感水平与他们的生活经验有关，很多学生凭经验做题并没有很好地领会题目的真正含义.封闭的教学内容和机械的解题训练与思维定势制约了学生数感的发展.

（2）蒙古族的性格特点.蒙古族有开放的心理和包容的性格，蒙古族文化首先是牧民文化，本质就是开放的.蒙古族学生在学校里与老师的频繁交流获得对数字意义和大小的理解.因而在一些维度上数学感知能力较好.

3.3.3 比较分析

从表1和表2中可以看出，哈萨克族、蒙古族学生数感能力在各个维度表现出较好的一致性，在性别上没有表现出显著差异.研究表明：同一地区、同一年级哈萨克族和蒙古族学生的数感能力在统计意义上没有显著差异.但各民族总体水平偏低，因此加强民族地区学生的数感教学，提高学生的数感能力，对学生的数学学习有很大的促进作用.

4 对教学的思考与建议

4.1 注重在教学过程中体现数感

学生数感的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的.教学过程中应当结合有关内容，加强对学生数感的培养，把数感的培养体现在数学教学过程之中.《标准》中强调，“要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感”（第一学段）.在认识数的过程中，让学生说一说自己身边的数，生活中用到的数，如何用数表示周围的事物等，会使学生感到数学就在自己身边，运用数可以简单明了地表示许多现象.如让学生说一说自己家的门牌号，家里（人）的电话号码；估计一页书有多少字，一本故事书有多少字等.对这些具体数量的感知与体验，是学生建立数感的基础，这对学生理解数的意义会有很大的帮助.借助于图形有利于培养高认知水平的理解，如教学(a+b)´(c+d)时可用矩形面积的计算来直观解释[6].（如图1，由此，也可以用图形来解释说明两位数乘两位数）

图1 用矩形面积的计算来教学(a+b)(c+d)

分数的意义和分数的乘法运算都可以用图来解释[1]（如图2所示）.

图2 分数乘法的图形编码

数字72，它即表示36的2倍，也可理解为70+2或80-8，也是4个18或18个4，又可理解为两个30与两个6的和；8×1/4可以理解为8个1/4，也是8÷4等.

4.2 在教学中要加强实践操作从而内化数感

小学生在学习数学时基本上要借助于直观手段和实际操作活动，这是由学生的年龄特征和认知水平所决定的.通过操作活动，能够促使学生更深刻地理解数学知识，从而建立数感，发展数感.例如，“一个学校有500人，如果所有的学生都在学校吃午饭，每次都用一次性筷子，估计一下一年要用多少双这样的筷子？大约需要多少棵普通的树？”[7]可以让学生收集10双这样的筷子，然后根据它的多少作为单位去估算.对这个问题的理解就是一个“数学化”的过程，学生在这个过程中逐步学习数学地理解和认识事物.

教学两位数乘法可用“矩形法”、“格子乘法”[1]来内化各位上数字相乘的意义.用矩形纸板来拼出(a+b)´(a-b)以及(a+b)´(c+d)的意义，等等.

4.3 加强学生估算能力的培养从而发展数感

加强估算是发展学生数感的有效途径之一.教师在教学中要善于抓住各种有利时机，创造性地开发教学资源，以学生熟悉的、感兴趣的生活内容为题材，从中体会估算的价值，增强估算意识，使学生在不断地估算学习中发展数感.比如：1 200步大约有多长，1把豌豆大约有多少粒，1万粒青稞大约有多重，100平方米的羊圈内大约有多少只羊，估计1 200张纸大约有多厚，说出班级人数的四分之一是多少，一个足球场大约有几个篮球场大，你家的具体位置在哪里（用方位说出可以增强方位感和空间观念以及坐标观念），你家离学校有多远（用米或千米说出，可以增强距离感），你家的房子面积有多大等.

5 结 束 语

培养学生对数的感知能力是引导学生学好数学至关重要的教学内容，尤其对于小学生来讲，更是重中之重.而对于边远少数民族地区的学生来说，要培养和发展数感，就必须创造性地开发适合学生的教学材料来提高认知能力.“我们确实需要发展学生对于客观事物和现象数量方面的敏感性，包括对数的相对大小做出迅速的判断，也需要发展学生的估算能力.但是，在以下一些方面我们则应做出新的不同要求：随着学生年龄的增大，我们应要求他们对客观事物和现象的数量方面做出准确的刻画，能准确而迅速地进行计算，并对运算的合理性做出说明.”对教师而言，需要具有一定的知识能力，也需要具备深层次的数感，才能够驾驭教材，才能够充分了解教学对象中的每一个个体.教师的数感正如徐文彬在文[1]后记中所言：“‘数感’是一个很广泛的概念，它既指个人在学习过程中对数字、数字系统和运算等所形成的有意义的观念，也指个人根据多年来的有关数字与运算的经验所发展出的一整套认知结构或图式.”

致谢：本文在全国数学教育研究会第十四次年会暨2012年国际学术会议第4分组报告的基础上修改而成，在分组报告时孔凡哲教授提出了好的建议，并在年会论文评选中荣获二等奖；在调研过程中得到了甘肃省教育厅民教处及甘肃省教育科学研究所的大力支持.在此一并表示感谢.

[1]朱莉亚·安吉莱瑞.如何培养学生的数感[M].徐文彬译.北京：北京师范大学出版社，2007.

[2]史宁中，吕世虎.对数感及其教学的思考[J].数学教育学报，2006，15（2）：9-11.

[3]徐文彬，喻平.“数感”及其形成与发展[J].数学教育学报，2007，16（2）：8-11.

[4]郭民，史宁中.小学生数感发展规律与特征的实证研究及其启示[J].数学教育学报，2011，20（1）：23-25.

[5]汤服成，廖克顺，叶蓓蓓.广西巴马县壮、瑶族学生数感的比较分析[J].数学教育学报，2006，15（3）：46-49.

[6]吴跃忠，葛鸳鸯，莫雷.不同认知水平的解答编码对数学公式学习的影响[J].数学教育学报，2011，20（3）：30-33.

[7]刘兼，孙晓天.数学课程标准（实验稿）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.