保序变换半群到保序部分变换半群的同态

2013-10-24高京南杨秀良

上海师范大学学报·自然科学版 2013年4期

高京南，杨秀良

(杭州师范大学理学院，杭州310036)

1 引言和预备知识

令Xn{1，2，…，n}．集合Xn上的所有保序变换在复合运算下构成的半群称为Xn的保序变换半群，记作On;Xn上的所有保序部分变换在复合运算下构成的半群称为Xn的保序部分变换半群，记作POn．它们的许多性质已经被前人研究［1-10］．特别地，Fernandes等人在［1］中研究On的自同态，Lavers和Solomon在［2］中研究On的同余，杨浩波在［3］中研究POn的同余．在本文作者将进一步研究On和POn之间的同态．

作者所提到的映射是右映射．S，T为两个半群，φ∶S→T为映射．若对任意的x，y∈S，都有(x)φ(y)φ=(xy)φ，则称为 φ 为同态．由［4］知，On，POn均为正则半群．

由［1］，［5］知，On，POn上的格林关系都为:

2 主要结果

得到结果:

定理1 令φ∶On→POn为任一映射，φ是同态当且仅当φ是下面之一:

(1)对任意的 α∈On，都有(α)φ =α;

(2)对任意的 α∈On，有(α)φ =ασ，其中，ασ=σ-1ασ，

(3)存在幂等元 e，f∈E(POn)，其中 e≠f且 ef=fe=f，有(1n)φ =e，(On/{1n})φ =f;

(4)选取 e∈E(POn)，对任意的 α∈On，都有(α)φ =e;

(5)

定理2 记H={φ∶φ为On到POn的同态}，则

其中，f2k为第2k个斐波那契数．

3 定理1的证明

显然定理 1 中的(1)，(2)，(3)，(4)，(5)均为同态．故只需证明除了(1)，(2)，(3)，(4)，(5)外没有别的同态．

设 φ∶On→POn为同态，则 Kerφ ={(a，b)∈On×On∶(a)φ =(b)φ}为 On上的一同余．由［2］知，Kerφ 为 Rees同余．由［6］知，On的所有理想均有形式 IOnk={α∈On∶r(α)≤k}，1≤k≤n，故存在 1≤k≤n，使:

当k=n时，Kerφ为泛同余，此时，φ具有形式(4);当k=n-1时，Kerφ共有两个同余类，分别为IOnn-1，{1n}，此时φ具有形式(3)．由［2］知，On上的同余有Rees同余和恒等同余．当On上的同余为恒等同余时，由［7］知，φ 具有形式(1)，(2)．

当 k=n-2 时，IOnn-2为 Kerφ 的一个同余类，φ 在 On/IOnn-2上为单射．今(IOnn-2)φ =τ，其中，τ∈EIOnn-2，故可得

即ατ=τα=τ．

因同态保持D类，故DOnn-1在φ下的像应包含在POn的某个D类中，不妨设为DPOnx，其中，0≤x≤n．任取 α∈(GOnn-1)φ，则有 τα =τ 可知，im(f)⊆im(α)，故 x≥i，假设 x=i，则有 im(f)=im(α)．故 τ= α．(否则，存在 j∈X，使得(j)τ≠(j)α．因 im(τ)=im(α)，则有(j)α∈i m(τ)，故由 τ是幂等元可知，((j)α)τ=(j)α，而 ατ=τ，故(j)τ=(j)ατ=((j)α)τ=(j)α，矛盾)．从而(GOnn-1)φ =τ，即 GOnn-1与 IOnn-2包含于Ker(φ)的同一个同余类中．这是不可能的，故假设不成立．从而x＞i，也即(DOnn-1)φ⊆DPOnx，其中i＜x≤n．

任取 δ≠σ∈(GOnn-1)φ，则有

不妨令 Cδ=im(δ)im(τ)，Cσim(σ)im(τ)．则有

解此不等式可得:i=0，x=1．即

类似［8］中的方法可证，此时φ具有形式(5)．

当1≤k≤n-3 时，IOnn-3为 Kerφ 的一个同余类，设(IOnn-3)φ =f，显然 f∈E(POn)．为讨论此情况．首先引入以下引理:

引理1 令 g，h∈DOni，其中，k+1≤i≤n-2．则 g R h当且仅当(g)φR(h)φ;g L h当且仅当(g)φL(h)φ．

证明在此只证明R关系，类似可证L关系．

若g R h，因为φ是同态，所以有(g)φR(h)φ．

反之，令(g)φR(h)φ．因为IOni是On的正则子半群，故有(IOni)φ是POn的正则子半群．由［9］，令

则有

故存在 a，b∈IOni，使得

若 r(ga)≤k，则有(ga)φ =f:

故h∈(f)φ-1=Ik，矛盾．因此r(ga)＞k．同理可得r(hb)＞k．又因为φ在On/IOnk上的单射，故有:

即g R h．

引理2(DOnk+1)φDPOnl，其中，r(f)＜l＜k+1．

该引理的证明类似［1］中的证明方法，此时不再重复证明．

今

令G={g1，…，gk+1，h1，…，hk}．则G中的元素均为的幂等元，且任意两个的复合都在中．若k=n-3，则对任意的 1≤i≤k，有 gi=hi，此时=n-2．若 k＜n-3，则由由引理1知，中共有类．引理2知，其中l＜k+1中共有个类，故，因此有今 ε1，ε2，…，εn-2∈G．对任意 u∈On，有 f·(u)φ =f，因此有