环面自映射ω-极限集轨道的渐近性

刘喜玲，霍振宏，陈留强

(1.中原工学院 a.信息商务学院;b.理学院，郑州 450007;2.郑州交通职业学院，郑州 450062)

环面自映射ω-极限集轨道的渐近性

刘喜玲1a，霍振宏1b，陈留强2

(1.中原工学院 a.信息商务学院;b.理学院，郑州 450007;2.郑州交通职业学院，郑州 450062)

迭代;周期点;轨道;ω-极限集

0 引言

ω-极限点是由周期点的概念推广而得到的概念，是动力系统中的重要概念，而轨道则是动力系统研究的基本对象。早在60年代，对于线段上的连续自映射，A.N.Sarkovskii给出了f的非游荡点的任意聚点，都是f的ω-极限点;80年代，A.Blockh给出了ω(f)=Ω(f)∩f(Ω(f))∩f2(Ω(f))∩…;熊金城则证明了ω-极限集是非空闭子集，且相对于f而言是强不变的。本文则在此基础上介绍了环面上连续自映射的ω-极限集轨道的渐近性质。

1 相关概念

设X为环面上的紧致度量空间，记X上的全体连续自映射的集合为C0(X)。

设f∈C0(X)，用f0表示恒等映射，对任何自然数n，归纳地定义:

设 f∈ C0(X)，∀(x，y)∈ X。如果存在整数 n ＞ 0，使得 fn(x，y)=(x，y)，则称(x，y)为 f的周期点，并把使fn(x，y)=(x，y)成立的最小正整数n称作它的周期。f的全体周期点的集合，记作P(f)。

设 f∈ C0(X)，∀(x，y)∈ X。如果存在整数 n ＞ 0，使得 fn(x，y)=(x，y)，则称(x，y)为 f的周期点，并把使fn(x，y)=(x，y)成立的最小正整数n称作它的周期。f的全体周期点的集合，记作P(f)。

设f∈C0(X)，集合A⊂X称为f的不变集，如果f(A)⊂A;如果f(A)=A，则称A为f的强不变集。

设 f∈C0(X)，(x，y)∈X。若存在整数n ＞ 0和p∈P(f)，以及p的邻域P(x，y)，使得fn(x，y)∈U(p)，则称(x，y)为f的渐近周期点，记f的渐近周期点集为AP(f)。当存在k＞0，使得fn(x，y)∈P(f)时，则称(x，y)为f的终于周期点，记f的终于周期点集为EP(f)。

2 相关命题

命题 1 设f∈C0(X)。若(x，y)∈P(f)，则ωf(x，y)={x，f(x)，…，fn-1(x)}，其中n≥1 是(x，y)的周期。

此命题的证明是显然的。

命题2 设f∈C0(X)，若(x，y)∈X，则ωf(x，y)是X的非空闭子集，且相对于f而言ωf(x，y)是强不变的。

证明 Orbf(x，y)是紧致度量空间X上的一个序列，因此它有子序列收敛到X上某一点，这个点包含在ωf(x，y)内，故ωf(x，y)不空。ωf(x，y)的闭性可由定义直接得到。

而由f是连续自映射知，f和 f-1的连续性，显然 f(ωf(x，y))⊂ωf(x，y)，而且有

命题3 设f∈C0(X)。若(x，y)∈X，则对任意整数n ＞0，有

推论1 设 f∈C0(X)，若(x，y)∈ X，则对任意整数 n ＞ 0，ωf(x，y)= ωfn(x，y)。

换言之，映射f的ω-极限集可迭代。

证明 设(x，y)∈X，显然有 ωfn(x，y)⊂ ωf(x，y)。另一方面，根据命题3，知

从而

命题4 设f∈C0(X)。若(x，y)∈X，则(x，y)∉AP(f)蕴涵ωf(x，y)不可数。

证明 设(x，y)∉AP(f)。先设ωf(x，y)有限而导致矛盾。这时ωf(x，y)中的每一点都是f的终于周期点，因而ωf(x，y)有f的周期点。

不妨设(x0，y0)∈ωf(x，y)是f的周期点，其周期为n≥1。取(x，y)的任一邻域U(x，y)，显然存在足够大的 k ＞ 0，使得当 l ＞ k时，有 fl(x，y)∈ U(x，y)。不妨设 fl(x，y)∈ U(x0，y0)⊂ U(x，y)。于是

易见有，

这蕴涵

即(x，y)为f的渐近周期点，与假设矛盾。上面证明了ωf(x，y)不可能是有限的。

下设ωf(x，y)无限但可数。易见ωf(x，y)无孤立点。令

取(x1，y1)的邻域 U(x1，y1)，则存在 n1＞ 0，使得(xn1，yn1)∈ U(x1，y1)且

这就证明了ωf(x，y)是不可数的。

推论2 设f∈C0(X)。若(x，y)∈X，则ωf(x，y)或是由f的一条周期轨道组成，或不可数。

［1］熊金城.线段映射的动力体系:非游荡集，拓扑熵以及混乱［J］.数学进展，1988，17(1):1-11.

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Asymptotic Property of ω-Limit Set Orbit in Self-mapping for Torus

LIU Xi-ling1a，HUO Zhen-hong1b，CHEN Liu-qing2
(1a.College of Information and Business;b.College of Science，Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China;2.Zhengzhou Jiaotong Vocational College，Zhengzhou 450062，China)

iteration;periodic point;orbit;ω-limit set

O189.1

A

1009-3907(2013)12-1588-02

2013-10-18

刘喜玲(1981-)，女，河南许昌人，讲师，硕士，主要从事拓扑动力系统研究。

责任编辑:

程艳艳