APP下载

对一道高考填空题的探究

2013-09-17安徽省枞阳县会宫中学王怀明邮编246740

中学数学教学 2013年6期
关键词:枞阳县极大值高考题

安徽省枞阳县会宫中学 王怀明 (邮编:246740)

题 (2013年课标Ⅰ理数,16)若函数f(x)= (1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为________.

解法1 易知点(1,0),(-1,0)在f(x)的图象上,因为f(x)的图象关于直线x=-2对称,

解得a=8,b=15.

1 解法探究

令f′(x)=0,得x=-2或x=-2-或x=-2 +;

令f′(x)>0得x<-2 -或-2<x<-2 +,令f′(x)<0得-2 -<x<-2或x>-2 +.所以当x= -2 -时,f(x)的极大值为16,当x=-2+时,f(x)的极大值为16.结合f(x)的图象可得f(x)的最大值为16.

还可以如下求f(x)的最大值:

另解f(x)= (1-x2)(x2+8x+15)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5).令t=x2+4x,则t= (x+2)2-4≥-4,f(x)=-(t+3)(t-5)=16-(t-1)2,当t=1时f(x)取最大值为16.

解法2 易知函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)两个零点为-1、1,因f(x)的图象关于直线x=-2对称,所以-5,-3是函数f(x)两个零点.即方程x2+ax+b=0的两根为-5,-3.由根与系数关系得a=8,b=15.下同解法1,略.

解得a=8,b=15得f(x)= (1-x2)(x2+8x+15),下同解法1,略.

解法4 由f(x)的图象关于x=-2对称,得

又由x=-2是f(x)的极值点,得

由①②解得a=8,b=15.

下同解法1,略.

下同解法1,略.

解法6 由f(x)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)=f(-4-x),

又f(x)= (1-x2)(x2+ax+b),

下同解法1,略.

2 一般性探究

这道高考题涉及一元四次函数图象关于直线对称的问题,对于一般的四次函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0),是否都是轴对称图形?下面进行一般性讨论.

设f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x),

由上面探究过程可知,并非所有的一元四次函数图象都是轴对称图形,必须满足一定条件,由此,我们得到如下定理:

下面利用该定理解这道高考题.

猜你喜欢

枞阳县极大值高考题
一道2021年高考题的四种解法
两道高考题的整形处理
一道抽象函数题的解法思考与改编*
构造可导解析函数常见类型例析*
2018全国Ⅲ(21)题的命题背景及解法探究
高考题怎么改编(一)——集合篇
一道2017年高考题的解法与推广
枞阳县基层农技推广存在的问题及对策
枞阳县粮食规模经营的思考
对函数极值定义的探讨