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对几何直观教学的若干思考

2013-09-17河北省晋州市实验中学苑建广邮编052260

中学数学教学 2013年6期
关键词:中点四边形直观

河北省晋州市实验中学 苑建广 (邮编:052260)

《全日制义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”,数学教学要“重视直观,处理好直观与抽象的关系”.多年的教学实践,对几何直观教学有些许感悟,今作梳理,希能对同仁有所启示.

1 几何直观的内涵分析

“几何直观”是以图形和直观符号为活动要件,以直观化的信息加工过程为形态的一种认知方式,能给数学探究提供有益、有趣的启示,在数学活动中常常起着关键作用.学生形成和使用几何直观是有水平和层次差异的.

层次Ⅰ 建立和形成敏捷准确的几何直觉——感觉与图形相随

在这一层次,几何直观能力表现在开始形成和使用数学概念、法则、问题的几何表征或图表的过程,呈现出以下特征:

(2)能根据需要画出图形,辅助思考.作图是建立直观形象的思维支柱.能根据几何或自然语言想象并画出图形,通过视觉或操作图形构成要素(线与角),感知图形的结构、位置关系、数量关系与几何特征,形成印象,进行分类,使头脑内的形象与外在可感觉到的物体建立有力连接.直观推理是几何直观的精髓,其基本要素是直观判断.我国古代数学家赵爽采用构造双图的方法,“看(证明)”出了勾股定理.几何直观虽然以直接观察为基础得到结论,但并不是无意识的,在视觉结构中的见解和推理思考一样可靠.

(3)能结合实际完善图形,发现思路.在视觉与分析的基础上,反思、抽象、调整并逐渐完善成包含众多要素及其结构关系的几何模型,这种模型往往是深度“压缩”的结果,能在应用时通过其中的部分成分快速触发其它成分,分离或完善出相关模型,整体的发现、分析与思考问题,实现图形推理.

通常一个图形都是由几个基本的子图形组成的.解题的关键是依赖视觉直观把其中关键的子结构区分出来.观察图形和分离子结构时,不需要明显的知识(定义、定理),其中包含了视觉理解和推理.视觉导致了观察方向和重心的变化.

案例1 在相似形的学习中,常遇到图1-1所示两个基本图形(结合其形状特征分别命名为“A形图”和“Z形图”),用来解决“线段之比”问题.

问题 (2013年河北·晋州一模)如图1-2所示,△ABC中,AD∶DC=1∶3,E为BD的中点,AE的延长线交BC于F.求BF∶FC的值.

分析 观察题、图特征,由于BF∶FC是同一直线上的两线段之比,可考虑过A、B、C、D、E、F这些点作平行线,完善出上述基本图,从而使问题顺利获解.

点评 法1完善并分离出两个“A形图”,法2完善并分离出两个“Z形图”,法3完善并分离出一个“A形图”和一个“Z形图”.几何直观的视觉选择与推理功不可没.

案例2 (2013年江西·南昌中考)某数学活动小组在作三角形拓展图形与研究时,经历了如下过程:

操作发现

在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2-1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是________

①AF=AG=AB; ②MD=ME;

③整个图形是轴对称图形; ④∠DAB=∠DMB.

数学思考

在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2-2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程.

类比探索

在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图2-3所示,M是BC的中点,连接MD和ME, 试 判 断 △MED的形状.

分析 常规思路自然是按部就班,依次完成题目设问,且通常是分别对MD和ME的数量关系和位置关系予以说明.换一个路子,从视觉上看,探究“MD和ME的数量和位置关系”相当于探究“△DME的形状”,而看上去 △DME象是“等腰直角三角形”,若能证出“∠MDE=∠MED=45°”,则问题得以突破.

如图2-2,取AB、AC的中点F、G,连结DF、FM、EG、GM、DE.由于∠FDA=∠GEA=45°,于是转为证 ∠ADE= ∠FDM,∠AED=∠GEM.设AB=2a,AC=2b,易得MG=DF=a,MF=EG=b,AD=,AE=,于是.又易证∠DAE=270°-∠BAC=(180°-∠BAC)+90°=∠AFM+∠AFD=∠DFM,于是△DAE∽ △DFM,故 ∠ADE= ∠FDM.同理可证∠AED=∠GEM.到此,思路被打通.将条件作此深化,则第(1)问自然得证.

将之迁移到图2-3中,易知 ∠FDA=∠GEA=45°,于是转为证 ∠ADE= ∠FDM,∠AED=∠GEM.仍设AB=2a,AC=2b,可得MG=DF=a,MF=EG=b,AD=,AE=,于是.又易证∠DAE=(∠DAB+∠EAC)- ∠BAC=90°- ∠BAC=90°-∠MFB= ∠DFM,于是 △DAE∽ △DFM,故∠ADE=∠FDM.同理可证∠AED=∠GEM.思路再次被打通.

点评 如此处理,显然超出了命题人所料,是极具创新味道的.其中到处都是角和线段关系的转化,能够顺利打开思路完全是运用几何直观的结果,图形推理的价值由此可见一斑.

层次Ⅱ 实施和进行深入灵活的几何探索——视觉与思维共行

此时,几何直观活动过程已经从以视觉直观水平为主上升到“图形-分析”水平,表现出以下特征:

(1)能结合图形特征思考,具备良好的观察力.“观察”,观为看,察为思.能通过几何图形性质,即图形的组成部分和这些组成部分之间的关系,结合图形外在结构特征,来感知(视觉-几何直观成分)和分析(思维-逻辑推理成分)图形.

(2)能灵活进行合情推理,具备良好的探索力.透过观察所得,发现图形的构造特征,在外部操作或头脑中操作的支持下,对图形进行改造、变化或重组,如发现图形是否能在一定程度上动态变化,设计图形变化过程中的特殊情形,测量、比较图形,进而猜测和归纳图形的性质,探索问题,发现结论.其特征是在视觉的基础上,进行模拟和猜想.

(3)能因题制宜构造分析,具备一定的创造力.能够在心理上操作、旋转、翻折或逆转几何对象,并能感受和想象操作过程中元素之间的数量与位置关系的变化,出现视觉的弹性与跳跃、组合与分析,既能注意把握整体,又不忽视细节,从多层面上捕捉有效信息,广泛地对比、联想,构造、完善图形,启示或产生创造性的方法.

案例3 (2013年山东·枣庄中考)从棱长为2的正方体毛坯的一角,挖去一个棱长为1的小正方体,得到一个如图3所示的零件,则这个零件的表面积为________.

分析 整体观察图形,在头脑中借助“平移”实现对问题解决过程的优化,把求“表面积”的问题转化成求“从上、下、左、右、前、后六个方向看到的视图面积之和”的问题,则极易得到这个零件的表面积为6×(2×2)=24.

点评 此时,视觉操作虽然没有显示到卷面上,但却成为解题的关键,甚至能将问题拓展为:只要是从毛坯的一角,挖去任意一个长方体,则其表面积均为24,是不变的.几何直观的趣味性油然而生.

案例4 (2013山东·临沂中考)如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC、BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交,交点分别为E、F.(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图4-1,则的值为__________;(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图4-2,求的值;(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且使AP∶PC=1∶2时,如图4-3,的值是否变化?证明你的结论.

点评 此例之解决,在下笔之前,已然在头脑中完成了对图形的操作与转化,预测到继续实施程序操作成功的可能性.几何直观先行于书写中的推理与表达.

层次Ⅲ 成为分析解决问题的有效工具——抽象与形象互辅

透过物理世界和直观经验建构几何图形,联系性质、概念、定理,达到几何直观的运用已达成熟阶段:

(1)有效分离出具有特殊性质或熟悉的基本图形,突破问题.

(2)善于构造几何模型,变更命题.

(3)能够全面认知图形,随机应变.对图形已经形成动态观察和理解的习惯,头脑中操作的是一般化图形,以及相应的元素和结果后面隐藏的结构和关系.

案例5 (2013年江苏·连云港中考)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:

问题情境 如图5-1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F.求证:S四边形ABCD=S△ABF.(S表示面积)

问题迁移 如图5-2,在已知锐角∠AOB内有一定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值.请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.

实际应用 如图5-3,若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,试求 △MON的面积.(精确到0.1km2.参考数据:sin66°≈0.91,tan66°≈2.25≈1.73)

拓展延伸 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为(6,0)、(6,3)、(,)、(4,2),过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值.

分析 题目呈现出明显的从模型逐步推向应用的构题模式,能否在视觉和心理上发现和完成对图形的调整、完善,并化归为模型是解题的关键.图5-1对应问题情境即是本题的模型,容易完成证明.图5-2中,当P为MN中点时,S△MON最小.思路即是化归为模型:过点P作另外一条直线EF交OA、OB于点E、F,不妨设PE>PF,过点M作MG∥OB交EF于G.由“模型”知,当P为MN中点时,S△MON=S四边形MOFG,由于S△EOF>S四边形MOFG,所以S△EOF>S△MON,即当P为MN中点时,S△MON最小.此时,图5-2成为新的模型,将之迁移到图5-3中,可知当PM=PN时,△MON符合要求,进而结合所给数据,借助图中辅助线,利用三角形中位线性质得S△MON值.“拓展延伸”应分作两种情形考虑:①如图5-4,完善图形,当PM=PN时,S△DMN最小,此时S四边形OANM最大,结合所给数据,利用三角形中位线性质,可得其值为10;②如图5-5,完善图形,当PM=PN时,S△TMN最小,此时S四边形OCMN最大,结合所给数据,先得直线BC解析式、点T坐标、S△TOC值;结合点P的坐标,利用三角形中位线性质,可得点M坐标,进而可得S四边形OCMN=8.25,故截得四边形面积的最大值为10.

点评 视觉的灵活性和敏捷性是顺利实现化归为模型的前提.

2 几何直观的教学建议

结合几何直观能力的形成过程和运用特点,提出以下教学建议:

(1)在内容学习方面,要发展几何直观能力,教学时应借助实物或图形,直观引入几何概念和深化对几何命题的理解.通过设计有效的变式练习,形成对线、角等几何基本要素的“(位置和数量)关系感”,以及对图形空间形状和大小的感觉,这是建立几何直观、形成几何意象的基础.通过动手或心智操作,借助实物或图形直观,在视觉认知的基础上,加强图形和语言符号的联系,活化命题理解,深化命题的纵横联系,形成命题网络,完善心理图式.对于一些具有数、形双重身份特征的概念,更要注重揭示数和形的联系,互辅互释,双向升华,把几何直观和数式精确的特征融合到对研究对象的理解之中.

(2)在知识运用方面,要发展几何直观能力,教学时应帮助学生树立运用几何直观的意识,养成借助图形推理的习惯.生动的几何推理往往关系到公式和符号后面的意义.几何直观以直觉、想象和现实经验为基础,为了描述和交流信息的需要,为思考和形成新观念的需要,为深入理解的需要,在头脑中,或在纸上,或利用技术工具,绘出并解释图形、图象和图表,其中伴随着能力的发展.通过有意设计,如利用折纸、动手操作几何对象、几何画板演示等手段,让学生经历从有意识地感受与运用,到自觉运用,再到自动化运用几何直观理解与解决数学问题的过程,从外部操作逐渐过渡到心智操作,几何直观意识才能逐步树立起来,并内化为个体进行数学活动的一种品质或习惯,如善于借助几何图形把抽象的问题直观化;善于发现图形中的结构特征,从中抽取出数量、形状、位置、变换等关系;产生“完善图形”的冲动,分割、补充图形,使之呈现出“标准”或“熟悉”的状态,猜想出一般结论,实现合情推理到演绎推理的自然过渡;鼓励创新,从多角度感知、认识和分析图形,获得独特见解.在此过程中,要注意由几何直观引发的想当然型失误:

案例6 求证:所有的三角形都是等腰三角形.

且看证明过程:如图6,△ABC是任一三角形.作∠A的平分线AO与BC的中垂线OH(垂足为H)相交于点O;过点O作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N;连结OB、OC,易 知 ∠OAM=∠OAN,∠OMA= ∠ONA= 90°,OM=ON, 则△OAM≌ △OAN,于是有AM=AN;由OH为BC的中垂线,得OB=OC,结合OM=ON,可得Rt△OMB≌Rt△ONC,则MB=NC;继而可得,AM+MB=AN+NC,即AB=AC.

点评 如此荒谬的结论和看似毫无漏洞的证明过程,形成鲜明的对比.问题在哪里?如果作图准确的话,点O应在△ABC外!这一点提醒我们,借助几何直观解决问题,要避免想当然的视觉判断,随意地构造本不存在的图形.

(3)从教学评价方面看,要发展几何直观能力,应改进评价方法,实施多元评价.在进行命题设计时,要图文并茂,形(形象)神(抽象)兼备,增加题目的视觉操作成分考查.在评价方法上,可增加过程考查,如进行“出声”地思考,表达解决几何问题时观察与分析的过程:哪些是看(依赖几何直观)出来的?哪些是分析(依赖逻辑推演)出来的?用到哪些图形调整与变换的策略(如把试卷转动一个角度,或翻过来看试卷的背面,以找到容易观察或熟悉的角度).再如,给予操作工具或物体,如剪刀、纸片、正方体块等,允许进行裁剪、拼接、垒砌等实际动手操作活动,或运用信息技术手段,如几何画板等来理解和解决问题,带来互动性和动态性的体验,享受数学活动的愉悦感,动员非智力因素的参加.

1 中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2011

2 苑建广.信息转化 —— 问题解决的核心策略[J].中国数学教育(初中版),2012.3

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