工程项目估价概率分析

周建国，徐宁，杨正凯

(1.山东建筑大学 管理工程学院，山东 济南 250101;2.山东建筑大学 理学院，山东 济南 250101;3.山东建筑大学土木工程学院，山东 济南 250101)

0 引言

在项目策划及实施的各个阶段，都要进行工程估价。现行的工程估价方法是根据建筑产品在建造过程中所发生的费用，以施工过程为依据，计算工程数量及单价，或套用定额(估算、概算、预算定额)，按照取费标准计算得到的是一个固定值。建筑产品在生产过程中受各种因素的影响，如企业劳动生产率的高低、原材料的消耗量及价格变动、机械设备的利用程度、项目管理水平、以及现场条件的变化和工程合同条款的不同、市场竞争程度等[1]。由于这些不可控因素的影响，在预计工期内，工程项目有些费用是随机的，存在着多种变化状态(或范围)，很难精确的进行估算[2－3]。准确的工程估价，对项目发起组织和设计团队都是非常重要的[4－6]。不准确的估价，必然会增加项目的风险[7－8]。国内外概率的应用研究主要集中在工程的评价、决策、极限状态评估等领域，如风险(安全)评价、计划评审技术PERT(Program Evaluation and Review Technique)及可靠性评估等方面，而应用在工程估价方面，尚缺少系统的研究。文章拟将概率分析的概念引入到工程估价中，验证单项工程估价偏差或误差分布近似服从β分布，单项估价的累加平均值近似服从正态分布，可以应用中心极限定理为项目估价给出一个概率范围，从而为项目的决策和风险评估提供有价值的信息。

1 工程项目估价原理及程序

1.1 项目估价值概率分布的确定

建设工程项目的计价是一个复杂过程，其基于通用的环境和条件、正常的执行情况。因为确定项目估值的因素，如材料设备的价格，工资、利率、汇率等是不断变化的，这些变化影响了建设工程费用估价的准确性，将这些影响定义为偏差或误差，这些偏差或误差决定了项目估价的不确定性[8－10]。

式中:x为当前估价;a为经验估价最小值;b为经验估价最大值。

则X具有下列三个特征:(1)X在0，1之间;(2)X的取值具有随机性;(3)X与1－X在几何上具有对称性。具有这些特征的随机变量可看作服从或近似服从β分布。即X的密度函数如下

通过β分布计算随机变量的均值和方差十分方便。估算出随机变量X的均值后，我们可推出当前估价x的均值与方差。

图1 β分布曲线

假设分项工程x有一个有限的乐观估价x1、悲观估价x2以及最可能估价xm，则对应相对误差有乐观误差x1、悲观误差x2和最大可能误差xm。这三个值是主观估计值，根据它们可推算出相对误差X的均值与方差，并推算出估价X的均值(μX)与方差(σ2)。

注意:当a≤x1≤b、a≤x2≤b时，经常地用a、b 分别表示 x1、x2。

1.2 项目估价概率分布规律分析

工程项目的估价是由大量的项目活动发生的费用累加得出的，其中每一个项目活动费用在总费用中所起的作用都是微小的，没有一项因素起特别突出的影响，项目的总费用受多个随机因素的影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。在项目费用的确定过程中，我们往往只关心项目的总费用，而不关心个别因素的作用，为了评估项目费用的不确定性，可以用中心极限定理来描述随机变量和的概率分布规律，即在一般情况下，大量随机变量的平均值近似服从正态分布[11]，因此可以应用正态分布对项目费用发生情况作近似分析。

假设某项目要进行投资决策，共有n个分项项目，构成随机变量序列C1，C2，…Cn其相互独立，服从同一分布，由上一步分析知:

注意到等式(7)的右端是标准正态分布的分布函数。即当n充分大时(n＞15)，独立同一分布的n个随机变量C1，C2，…Cn之和近似地服从正态分布 N(nμ，nσ2)。

1.3 项目估价概率分析计算程序

1.3.1 根据已知计划费用确定项目可完成的概率

(1)确定估价项目，并对每一项目进行乐观、悲观和最可能性估价分析。

(2)求每一估价项目的均值和方差。即求出

(3)确定项目总费用值的均值。

(4)计算项目费用的标准偏差:

(5)用标准偏差确定标准正态曲线的横坐标值Z，即

1.3.2 根据项目费用控制要求的控制可靠性概率，确定期望费用

用上例相似的方法，根据已知概率可求出期望费用。

2 工程项目估价概率实例分析

某大型国际机场项目，计划投资额为89.4亿元，建设方在投资决策前，需要做一个针对项目投资合理性的经济分析，确定能够按此投资额完成建设的把握。

(1)确定估价项目并进行三值估计

根据项目设计，项目共由86项估价项目组成，为了得到项目按计划投资额完成的概率，成立了一个由多位估价专家组成的专家组，为项目活动给出了乐观、悲观及最可能投资估计值(如表1所示)。

表1 项目估值表

续表1:

(3)计算项目估值方差及正态分布的标准偏差

(2)确定工程投资的总平均估值

由公式(3)及表1确定工程投资的总平均估值

(4)用标准差确定正态曲线横坐标值

(5)确定项目期望投资额完成概率

图2 正态分布曲线

即有95%的置信度，保证工程在计划投资额89.4亿元内完成。

3 结论

工程项目的建设是一个复杂和有较长建设周期的过程，在项目建设的不同阶段需要做出相应的项目估算(设计概算、施工图预算及竣工结算等)，估算的精度取决于项目已知的信息量，估算的误差最大可能会达到+50%到－30%的范围。研究将概率分析的方法应用到工程估价中，验证了(1)每一项工程的估价都是大量随机变量的叠加，这些随机变量的平均值近似服从正态分布，可以应用中心极限定理来描述其分布规律;(2)应用概率分析做出的项目估价，可以给出估价值的置信度及置信区间或估价值的浮动范围;(3)此估价方法在估价项目数量较大(＞15)时结论才为有效。

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