一个不等式的另证及推广

●邹生书 (阳新县高级中学 湖北阳新 435200)

《数学通报》2010年第12期宋庆老师提供的第1 885号数学问题如下：

文献［1］、文献［2］和文献［3］对该不等式给出了证明和推广.本文给出了一种新的证明，并通过柯西不等式和判别式法给出不等式的几种推广.

且x1+x2+x3=1.故原问题可转化为：

推广1 已知 a，b，c为正数，且 p，q，r为正常数，求证：

且x1+x2+x3=1.故原问题可转化为：

已知正数 x1，x2，x3满足 x1+x2+x3=1，求证：

推广 2 已知 a1，a2，…，an为正数，且 m1，m2，…，mn为正常数，n≥3，则

推广3 已知变量a，b，c为正数，且λ，μ为正常数，求证：恒成立.

当k=48时，由式(1)得b≤c恒成立，这与题设不符，故式(1)恒成立当且仅当

推广4 已知变量a，b，c为正数，且p，q，r为正常数，求证：

当k=4pq时，由式(2)得(q-p-r)b+(q-r)c≤0，但当 q-p-r＞0时此式不成立，因此 k≠4pq，故式(2)恒成立，则当且仅当k-4pq＜0且

又k≠4pq，所以k-4pq＜0.故式(2)恒成立的充要条件是

根据推广4笔者进一步提出如下更一般的猜想.

猜想已知变量ai和常数pi，λi(i∈N，i≥3)均为正数，则

［1］ 宋庆.数学问题解答［J］.数学通报，2010(12)：59-61.

［2］ 钟建新.数学问题1 885的解后再思考［J］.数学通报，2012(3)：50-51.

［3］ 宋志敏，尹枥.数学问题1 885的推广与再研究［J］，数学通报，2011(12)：27-28.