“完美无缺”的解答 扑朔迷离的错误

●朱良满 (溆浦县第一中学 湖南溆浦 419300)

常言道：人非圣贤，孰能无过;知错就改，善莫大焉!在解题过程中，不出错永远是一种理想状态.教师和学生的解题能力在与错误、失败的不屈斗争中得到了提高.实际解题中，由于认知能力的欠缺和思维的局限性，一些问题的解答，我们认为“完美无缺”，其实漏洞百出;还有一些问题，我们明知解答有“错”，但不知“错”在何处，为何而“错”.知道错了是好事，而对错误的深层次反思，更是在积累着宝贵的知识财富.

笔者在教学过程中发现，很多学生自认为解答“完美无缺”，而当教师指出错误后，学生仍很难发现错在何处，因何而错.

由题意知，a满足条件

由式(1)和式(2)知，a满足

要使方程(3)有唯一解，则

正解 由上述解答过程知，ax2+bx=x有唯一解，得

由 f(2)=1知a=1，即 f(x)=1(x≠0).

例3 已知 0＜α＜β＜γ＜2π，且 cosα+cosβ+cosγ =0，sinα +sinβ +sinγ =0，求 β - α 的值.

错解由已知得

将上述2个式子两边平方，再相加，得

又由0＜α＜β＜γ＜2π，知0＜β-α＜2π，因此

分析由 cosβ +cosγ =-cosα，sinβ +sinγ =-sinα两边平方，相加，得

本题为什么容易出现错解的情况呢?原来，将cosα +cosβ =-cosγ，sinα +sinβ =-sinγ 两边平方，再相加，得

将 cosα +cosγ =-cosβ，sinα +sinγ =-sinβ 平方，相加，得

综上所述，由0＜α＜β＜γ＜2π，知

图1

在“完美无缺”的解答中，种种扑朔迷离的错误，其实隐藏着思考的盲区，如例1和例2中的“分母不能为0”，在实际解题中总是被忽视.我们所犯的“漏解”、“多解”等种种错误，即原命题被我们随意地缩小、扩大了条件所应满足的范围.错误的产生不是坏事，它能促使师生共同反思，以发现错误的根源，而其最有效的标尺，就是在解题的过程中，始终坚持等价转化的思想.