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函数空间相对性质的研究

2013-08-15张洪刚张国芳

长春教育学院学报 2013年2期
关键词:可数基数正则

李 影,张洪刚,张国芳

设R是实数空间,X是一个拓扑空间,RX是X上的所有实值函数的集合,令 A⊂X,B⊂R,定义 M(A,B)={f∈RX|f(A)⊂B}。设 Φ 是X的所有有限子集构成的集族,τ是R的通常拓扑。令B={∩i=1kM(Ai,Ui)|Ai∈Φ,Ui∈τ,},则称以B为基生成的 RX的拓扑为 RX的点态收敛拓扑。

显然,RX也可以看作是笛卡尔积,其中对任意x∈X,有RX=R.于是,具有以在 Rxi中开}为基的积拓扑,易证RX上的点态收敛拓扑与笛卡尔积的积拓扑相同。众所周知,积空间关于是封闭的,且实数空间R是T4的,所以有RX是Ti空间,其中

设Cp(X)为X上所有实值连续函数的集合,则它具有RX的子空间拓扑,所以Cp(X)在点态收敛拓扑下是的。

对 k∈ω,x1,x2,…,xk∈X,f∈RX,ε〉0,令

W(f,x1,x2,…,xk,ε)={g∈RX‖g(xi)-f(xi)|〈ε,i=1,2,…k}

则所有形式为 W=W(f,x1,x2,…,xk,ε)的子集族是 Cp(X)的一个基。

定义1[4]:X的Souslin数C(X)是指X的由两两不交的非空开集构成的集族的基数不超过τ的最小无限基数τ。

定义2[5]:子空间Y叫做在X中正则的,若对于任意y∈Y及X中每个不包含y的闭集P,都存在X中不交开集U,V,使得y⊂U,P∩Y⊂V。

定义3[5]:子空间Y叫做在X中强正规的,如果对于Y的每对不交闭集A,B,都存在X中不交开集U,V,使得A⊂U且B⊂V。

定义4[5]:Y叫做在X中仿紧的,如果对于X的每一个开覆盖γ,都存在X的开集族Y,使得Y在Y的每一点都局部有限且Y加细γ,即,对于每一个V∈Y,都有U∈γ,使得V⊂U且Y⊂UY。

定理 1[2]:Cp(X)在 RX中稠密,即

证明:设 f∈RX,对于 X 的任一有限子族 x1,x2,…,xk∈X,都存在一个 g∈Cp(X)使得 g(xi)=f(xi)i=1,2,…,k,所以

推论2:Cp(X)的Souslin数是可数的。

空间X称为仿紧的,如果X的任意一个开覆盖A有一个覆盖X的局部有限开加细B。我们知道一个拓扑空间X仿紧的当且仅当X的每个开覆盖Y都有一个σ-离散开加细(见文献[4]),于是有:

定理 3:Cp(X)是仿紧的⇔Cp(X)是 Lindelöf的。

证明:⇒若Cp(X)仿紧,设Y是Cp(X)的任意开覆盖,则Y有一个σ-离散开加细,由推论2,则有基数小于或等于א0的σ-离散开加细,所以Y有可数子覆盖,故Cp(X)为Lindelöf空间.

⇐由于 Cp(X)是正则的,所以若 Cp(X)为 Lindelöf的,则 Cp(X)是仿紧的。

由RX的特性,关于Cp(X)在RX中的相对分离性质有:

命题4:Cp(X)在RX中正则的。

此外有

定理5:若Cp(X)是仿紧的,则Cp(X)在RX中强正规,因此Cp(X)在RX中也是正规的。

证明:若 Cp(X)是仿紧的,则由定理 3,可知 Cp(X)是 Lindelöf.由命题4,知Cp(X)在RX中正则的。类似[1]定理3.9的证明,则有Cp(X)在RX中强正规。

注:若Y是X的子空间,且Y自身仿紧,但Y在X中未必仿紧。

例 1:X=R×[0,∞)为 Niemytzki平面,Y=R×{0}.则 Y 是一个不可数的闭的离散子空间,且Y是仿紧的,但Y在X中不是仿紧的。

因此,下面的结果是有趣的:

定理6:若Cp(X)是仿紧的,则Cp(X)在RX中仿紧。

证明:由 Cp(X)仿紧可知 Cp(X)是 Lindelöf的。而 Cp(X)与 RX都是正则的,则由[1]中定理7.10,可知,Cp(X)在RX中仿紧。

[1]Arhangel'skii.A.V..From classic topological invariants to relative topological properties[J].Sci.Math.Japon.2002,55(1):153-201

[2]Arhangel'skii A.V..Topological function spaces[M].Kluwer Academic Publishers.(1992)

[3]Arhangel'skii A.V.and Genedi H.M.M..Beginning of the Theory of Relative Topological Properties[J].In General Topology,Space and Mapping.MGU,(1989),3-48

[4]Engelking.R..General Topology[M].Sigma Series in Pure.Mathematics,Heldermann,Berlin,revised,1989

[5]Arhangel'skii A.V..Relative topological properties and relative topological spaces[J].Topology and Appl.70(1996),87-99

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