函数空间相对性质的研究

李 影，张洪刚，张国芳

设R是实数空间，X是一个拓扑空间，RX是X上的所有实值函数的集合，令 A⊂X，B⊂R，定义 M(A,B)={f∈RX|f(A)⊂B}。设 Φ 是X的所有有限子集构成的集族，τ是R的通常拓扑。令B=｛∩i=1kM(Ai,Ui)|Ai∈Φ，Ui∈τ，｝,则称以B为基生成的 RX的拓扑为 RX的点态收敛拓扑。

显然，RX也可以看作是笛卡尔积，其中对任意x∈X，有RX=R.于是，具有以在 Rxi中开}为基的积拓扑,易证RX上的点态收敛拓扑与笛卡尔积的积拓扑相同。众所周知，积空间关于是封闭的，且实数空间R是T4的，所以有RX是Ti空间，其中

设Cp(X)为X上所有实值连续函数的集合，则它具有RX的子空间拓扑，所以Cp(X)在点态收敛拓扑下是的。

对 k∈ω，x1，x2，…，xk∈X，f∈RX，ε〉0，令

W(f，x1，x2，…，xk，ε)=｛g∈RX‖g(xi)-f(xi)|〈ε，i=1，2，…k}

则所有形式为 W=W(f，x1，x2，…，xk，ε)的子集族是 Cp(X)的一个基。

定义1[4]：X的Souslin数C(X)是指X的由两两不交的非空开集构成的集族的基数不超过τ的最小无限基数τ。

定义2[5]：子空间Y叫做在X中正则的，若对于任意y∈Y及X中每个不包含y的闭集P，都存在X中不交开集U，V，使得y⊂U，P∩Y⊂V。

定义3[5]：子空间Y叫做在X中强正规的，如果对于Y的每对不交闭集A，B，都存在X中不交开集U，V，使得A⊂U且B⊂V。

定义4[5]：Y叫做在X中仿紧的，如果对于X的每一个开覆盖γ，都存在X的开集族Y，使得Y在Y的每一点都局部有限且Y加细γ，即，对于每一个V∈Y，都有U∈γ，使得V⊂U且Y⊂UY。

定理 1[2]：Cp(X)在 RX中稠密，即

证明：设 f∈RX，对于 X 的任一有限子族 x1，x2，…，xk∈X，都存在一个 g∈Cp(X)使得 g(xi)=f(xi)i=1，2，…，k，所以

推论2：Cp(X)的Souslin数是可数的。

空间X称为仿紧的，如果X的任意一个开覆盖A有一个覆盖X的局部有限开加细B。我们知道一个拓扑空间X仿紧的当且仅当X的每个开覆盖Y都有一个σ-离散开加细（见文献[4]），于是有：

定理 3：Cp(X)是仿紧的⇔Cp(X)是 Lindelöf的。

证明：⇒若Cp(X)仿紧，设Y是Cp(X)的任意开覆盖，则Y有一个σ-离散开加细，由推论2，则有基数小于或等于א0的σ-离散开加细，所以Y有可数子覆盖，故Cp(X)为Lindelöf空间.

⇐由于 Cp(X)是正则的，所以若 Cp(X)为 Lindelöf的，则 Cp(X)是仿紧的。

由RX的特性，关于Cp(X)在RX中的相对分离性质有：

命题4：Cp(X)在RX中正则的。

此外有

定理5：若Cp(X)是仿紧的，则Cp(X)在RX中强正规，因此Cp(X)在RX中也是正规的。

证明：若 Cp(X)是仿紧的，则由定理 3，可知 Cp(X)是 Lindelöf.由命题4，知Cp(X)在RX中正则的。类似[1]定理3.9的证明，则有Cp(X)在RX中强正规。

注：若Y是X的子空间，且Y自身仿紧，但Y在X中未必仿紧。

例 1：X=R×[0,∞)为 Niemytzki平面，Y=R×{0}.则 Y 是一个不可数的闭的离散子空间，且Y是仿紧的，但Y在X中不是仿紧的。

因此，下面的结果是有趣的：

定理6：若Cp(X)是仿紧的，则Cp(X)在RX中仿紧。

证明：由 Cp(X)仿紧可知 Cp(X)是 Lindelöf的。而 Cp(X)与 RX都是正则的，则由[1]中定理7.10，可知，Cp(X)在RX中仿紧。

[1]Arhangel'skii.A.V..From classic topological invariants to relative topological properties[J].Sci.Math.Japon.2002,55(1):153-201

[2]Arhangel'skii A.V..Topological function spaces[M].Kluwer Academic Publishers.(1992)

[3]Arhangel'skii A.V.and Genedi H.M.M..Beginning of the Theory of Relative Topological Properties[J].In General Topology,Space and Mapping.MGU,(1989),3-48

[4]Engelking.R..General Topology[M].Sigma Series in Pure.Mathematics,Heldermann,Berlin,revised,1989

[5]Arhangel'skii A.V..Relative topological properties and relative topological spaces[J].Topology and Appl.70(1996),87-99