对共顶点椭圆（圆）与双曲线的辩证认知

☉江苏省海门市包场高级中学 钱 斌

解析几何中有一些问题是比较独特的，比如圆系知识必需是在两圆有交点的前提下才能运用，否则圆系是没有意义的；共顶点的椭圆、双曲线和抛物线恰好存在着实虚根之间的巧妙转化，笔者对这些虚虚实实、实实虚虚的问题做过一些探究，现将此整理成文请读者一起来化虚为实，探索虚根的含义．

一、圆与双曲线的辩证认识——两圆无交点时的圆系

例1（人教A版数学必修2习题A组第10题）求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程.

变式： 求经过两圆C1：x2+y2=1，C2：（x-4）2+y2=1的交点，并过（0，0）点的圆方程.（注意：此两圆是无交点的）

误解：设所求圆方程为：

图1

总结：经过笔者验证，发现两圆内含时，也存在上述现象.通过上述分析，当两圆无交点时（相离、内含），此时圆系方程不能表示实体圆存在，但此时共顶点双曲线系方程必过此（虚）交点，从复数范围来说，代数方法将虚和实统一在二元二次方程中了！笔者将上述现象称为虚圆系.因此，笔者总结了下列定理（虚圆系定理）：

二、椭圆与双曲线的辩证认识——对一个离心率问题的探索

解析：这是非常普通的一道离心率定值问题，但其背后隐藏着对圆锥曲线辩证统一的认知.先看两个解法：

图2

分析：很明显，解法2是错误的！因为x1x2=-a2可知两根异号，但实际图中两根均为正根，所以解法2是错误的.对于这类问题，很多教师都是用几何法处理的，但有些学生选择的是代数法，教师该如何阐释缘由呢？为了解释清晰，笔者先引入一个定义和引理.

引理：实系数方程ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0的根互为相反数.

证明：（1）a=0时，引理显然成立；

图3

（1）双曲线与抛物线的交点.

（2）椭圆与抛物线的交点.

综合上述（1）和（2），对“共顶点椭圆双曲线”来说，它们与抛物线y2=2px（p>0）的交点恰好是实根与虚根的互换.

辨析：现在可以解释为什么例2的解法2是错误的：

三、系统高度辩证认知

（1）从学生的角度而言，笔者认为学生的思维往往比较直接，给什么做什么是大部分学生解决数学问题的基调.以本文第2个问题而言，有些学生解决本题的思维倾向于代数方式，采用联立方程和韦达定理，殊不知二元二次方程中虚根的存在，在问题的背后深深隐藏着学生对“以数解形”完备性认知的缺乏，同时也让学生深刻理解“以数解形”在这样问题中的优越性，值得教师教学多加渗透和予以关注.

（2）从教师的角度而言，这样的问题有利于开拓学生的视野和培养其创新的思维，值得在这样的探究性问题上多下功夫，平时教学中，笔者觉得“以形辅数”（几何法，使用相对较多）很轻快、较简洁、便于教学，但是不足之处在于只能就题论题；而“以数解形”（代数法）往往站在了系统的高度，很完美、较复杂、但散发出问题的本质；传授知识时，我们应该毫无疑问的多选择几何法，但对于自身优秀的学生而言，也要注重“以数解形”对圆锥曲线是一个统一体的本质理解！

（3）笔者想起人教A版中圆锥曲线的章头图，何为“圆锥曲线”呢？当然是用一个截面截圆锥而成的！通过特定角度切割圆锥体表面得到圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线.其实用统一的眼光来看，它们本身是一个整体.其差别在于用截面的角度带来了圆锥曲线离心率的不同，但是e＞1和0≤e＜1之间有着完美的对称.用统一的代数语言——方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0就是对他们最完美的诠释！

（4）从思想方法的角度而言，圆锥曲线问题渗透出的主要数学思想方法便是数形结合思想.有时形优于数，有时则恰恰相反，这需要教师通过各种问题对学生进行经验的积累.

将文中的例1用二次曲线系阐述：过两圆锥曲线A1x2+B1y2+C1xy+D1x+E1y+F1=0和A2x2+B2y2+C2xy+D2x+E2y+F2=0交点的曲线系方程，设为：A1x2+B1y2+C1xy+D1x+E1y+F1+λ（A2x2+B2y2+C2xy+D2x+E2y+F2）=0，这样我们就站在系统的高度认识了圆系！其实圆系就是二次曲线系的一种特殊情形.双曲线系也在其中，文中的虚圆系正是如此！难怪，两圆无交点，圆系也能求解了！通过文中的两个问题的探索，多方联系，浑然一体，虚实结合，妙探虚知！