继承与创新同在，传统与开放并存——2012年浙江省数学高考理科第17题赏析

☉浙江省嘉兴市第一中学 王剑明

2012年浙江高考数学理科试卷最后一道填空题，考查的是高中数学中常规、传统的含参数的不等式恒成立问题.2011年浙江高考数学理科试卷最后一道解答题，也是含参数的函数不等式恒成立问题.2011年底全国各种中学数学杂志针对含参数的函数不等式恒成立问题的解法刊发了近20余篇文章，大多是运用“最值法”、“分离参数法”以及大学数学的二阶导数、罗比达法则求极限等知识和方法给出解答.

对于不等式恒成立的问题，教师都会作为重要的问题进行教学，把“最值法”、“分离参数法”作为通性通法，而且在不断的重复、不断的训练、不断的强化.今年高考又正面碰到，许多学生对此题有似曾相识之感.由于高考试题继承与创新同在，从而学生的求解思路并不清晰.这题不能直接“分离参数法”，“最值法”也不方便使用，顺利解答有不小难度.本题击中了应试教学的软肋，显示了高考命题者的智慧.本问题的解题策略有相当的开放性与发散度，可以很好地考查学生灵活应用数学知识与方法的能力.让我们追寻探究的足迹，感受思想的风采.

2012年浙江数学高考理科第17题：设a∈R，若x>0时均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，则a=______.

一、解法探究，感悟思想

解法1：数形结合，熠放光彩.

函数y1=（a－1）x－1，y2=x2－ax－1，都过定点P（0，－1）.

图1

解法2：特殊值法，神来之笔.

令x=1，则（a－2）（－a）≥0，即0≤a≤2；

点评：不费吹灰之力解决填空压轴题，出乎意料.取一些特殊值，缩小字母的取值范围，是一个好方法，体现了特殊性存在于一般性之中的哲学思想.这里有运气的成份，也有解浙江高考题的技巧.如2010届高考数学测试卷第22题：已知函数f（x）=（1－2a）x3+（9a－4）x2+（5－12a）x+4a（a∈R）.（Ⅰ）略；（Ⅱ）若函数f（x）在区间［0，2］上的最大值为2，求a的取值范围.

命题组给出如下解法：

解法3：分类讨论，各个击破.

当a=1时，不等式［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0即为x2－x－1≤0，在x>0时不可能恒成立；

当a＜1时，x3的系数为负，不等式［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0在x＞0时不可能恒成立；

显然x1＞0，x2＞0，x3＜0.

记f（x）=［（a－1）x－1］（x2－ax－1）（a＞1），则f（x）的草图为图2.

图2

解法4：变更主元，回归通法.

因为x＞0时均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，

点评：不能直接分离参数，但能从参数分离法的思想中受到启发，调整视角，变更主元.体现了思维的灵活性.

二、反思回顾，提出问题

爱因斯坦说过：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个教学上或实验上的技能而已.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步.”

在解法4中x=－1有什么玄机？

变式1：设a∈R，若x＜0时均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，则a=______.

解析：从解法4中可知：

因为x＜0，所以可取x=－1，此时a=0.

当a=0时，［（a－1）x－1］（x2－ax－1）=（x+1）2（1－x）≥0，

所以a=0.

点评：从这里也可看出x=－1时是a取值的关键.

在解法3中x=1有什么玄机？

变式2：设a∈R，若x＞1时均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，则a=______.

变式3：设a∈R，若x＜1时均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，则a=______.

同理可解得a=0.

三、教学思考，提升智慧

本题简洁朴素，但具有高考试题概念的深刻性、思辨的逻辑性、解法的多样性等特点，是整份试卷中的一大亮点.题目虽小，但题精意蕴，细细品味，对今后的复习备考具有很多有益的启示.

1.夯实基础，加深对数学知识的理解

如本题虽然综合，但还是可以分解为一个基础的问题：一个一次函数和一个二次函数.从这个角度来说，基础知识的熟练掌握永远是数学教学和数学学习的基石.熟练掌握基础知识，就可以形成对数学知识的深入理解，在调用和应用基础知识解决问题的过程中才会有速度和效率，也会有更多的灵感.本题与2011年浙江省数学高考理科试题的第10题，讨论方程g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）=0根的个数是否也有异曲同工之妙？可谓独具匠心，使人倍感亲切，并给人似曾相识的感觉.

2.提炼方法，加强对数学思想的感悟

本题以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养.本题以不等式为载体，既考查基础知识，考查数形结合等基本思想方法，还体现特殊性与一般性的哲学思想，又考查对数学本质的理解水平以及进入高等学校继续学习的潜能.此题还传递出一个信息，高中数学教学依靠“题型＋技巧＋大运动量训练”的教学难以适应高考，呼唤突出数学本质、实现高中数学教学自然回归.学生面对或熟悉或陌生的问题情境，是否能解决问题最终落实到数学能力.分析、比较、运算和推理能力的训练等应成为数学学习的常态.数学问题的求解是讲究方法的，数学方法既有常规的通性通法，又有一些特定的巧方妙法.设置恰当的例题、练习，对学生进行有针对性的能力训练和提升，是解决综合问题、压轴问题不可替代的方法.突破背景新颖、内涵深刻的压轴题，是数学考试中的很高要求，没有方法的提炼和积累，更多的时候只能望题兴叹.平时的教学过程中，要有意识地进行解题方法的提炼，进行数学思想的渗透，这样才能取到事半功倍的效果.

3.回顾反思，加大对数学能力的提升

著名的数学家波利亚说得好：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”在寻求数学问题的求解过程中，包含四个步骤：理解题目——拟定方案——实现计划——回顾反思.其中反思是解题过程中的深化与提高，有利于在原有基础上建立更高层次的认知结构，是一个极其重要而又容易被忽视的环节.因此，教学中，不能满足于获得正确的答案，要引导学生多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行反思，通过反思培养思维品质，提升数学能力.

在新课改的大背景下，减负和增效之间的矛盾是当前教育工作者亟待解决的问题，我们决不能以增补过多的知识、课堂上过多的机械模仿为学生换取一种“应试教育”的高效.这就要求我们教师更多的时候立足课程标准、中学教材，把中学数学最基本的思想、最本质的方法（通性通法），运用好我们的教学智慧传授给学生，从而在中学阶段打下坚实的基础，实现真正意义上对数学本质的理解，达到我们公认的高效！这既是新课标理念的追求，又是对教师素养的要求.

1.中华人民共和国教育部制定.高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.厉倩.浅谈2010年全国卷的四道高考题［J］.中学数学，2010，9.

3.张国治.用罗比达法则巧解一类高考压轴题［J］.数学通讯，2011，12.■