《算学课艺》的力学问题与京师同文馆数学教育

聂馥玲

（内蒙古师范大学 科学技术史研究院，内蒙古 呼和浩特 010022）

京师同文馆，清政府于1862年设立，最初以培养外语人才为主，1867年设立天文算学馆，由当时著名数学家李善兰担任算学教习。经长期的教学，天文算学馆积累了许多问题及其答案，后由副教习席凎、贵荣编辑成《算学课艺》。《算学课艺》是当时同文馆数学教学成效的具体例证，是研究晚清数学教学的很好素材。［1］同文馆数学教育对当时西方近代数学的传播产生了很大的影响，［2］受到学界的普遍关注，学者对《算学课艺》的 内容、［1］，［3］影响［4］等进行了研究。但这些研究主要针对《算学课艺》中的数学内容，对其中的力学内容及其应用，以及对西方力学传播产生的影响少有探讨。本文对《算学课艺》中的力学内容进行分析，以此理解同文馆数学教育的一侧面。

一、《算学课艺》简介

《算学课艺》，［5］由李善兰阅定，席淦、贵荣编次，熊方柏、陈寿田、胡玉麟、李逢春同校，于光绪庚辰（1880）年出版。收录52位学生的课艺，总计198题。每卷之首题署“同文馆算学教习李壬叔先生阅定，副教习席淦、贵荣编次，肄业生熊方柏、陈寿田、胡玉麟、李逢春同校”。总教习丁韪良光绪六年序称：“开馆以来十有余载，兹由副教习席淦、贵荣等将所积试卷选辑四帙，颜曰《算学课艺》。”

《算学课艺》共四卷。第一卷50题，为天文（20题）、力学（30题）；其余为数学（二、三、四卷分别为46题、42题、60题）。内容涉及很广，包括中国传统数学、西方数学以及天文和力学等方面。“凡天文、地理、火器、测量均为切实之要端”，“其题以弧角、重学、勾股为最多，颇有精理”。［6］

力学题集中在第一卷中，天文学和数学中也有少量内容涉及力学知识、原理问题，总共全书有34个力学问题，占到了全书内容的17%。

另外书中还有一题多解的情况，如席淦和杨兆鋆分别用了不同方法对于15、16两个重心的问题给予解答。为什么在“算学课艺”中录入相当数量的力学问题，丁韪良为该书写的序言中讲到：“盖格物为算学之用，而算学为格物之本。故学算而不及格物则虚薄而无凭，格物而不籍算学则浅尝而不入。譬诸凿井者，其器不利，仅得石罅之细流，利则通泉脉而达重渊。器之为用大矣哉！太西格致之学日兴者无他，亦只善用古人之器而已。顾当时创术者不过慕其理之真切，初未料为用如是之广。甚有谓算数为五行外别创世界，骛于高论而不屑用于俗事，殊不知算学之窔奥正寓于事物之寻常，虽匠氏之规矩准绳尤不及也。希腊地处偏隅，舟楫未出大洋，今航海者本其测算之术，履险如夷。在希人不过研究弧角之理，又何尝思及通商海外乎？是知实学原无求效之心，而利益自在其中矣。近代攻格致诸学者知算学利国便民，于古人所遗法度，推广以阐其微，则是别创世界之中著开疆拓土之功，不啻以远镜窥天而觉天高于古，以轮艘渡海而觉地广于古也。观夫以代数用于几何、勾股各种曲线，以微积用于各面、各体游刃于虚，势如破竹，不但格致制器等学标新领异，即算学亦极深研几。好事者设会，共相策励，月刊、算报以传播难题妙法，其用心洵可嘉矣。……同文馆内分设专馆以攻历算格致诸学，殆深知富强之道寓于此焉。”

上述内容表达了数学与其他格致之学的密切关系、数学在解决问题时的显著功效和数学与国之富强之关系。这里把数学作为了解决格致之学的问题与富国强民之根本。而力学是制器之学，天文学是测天之学，这些学科“均为切实之要端”，故《算学课艺》中的力学与天文学问题可以展示数学的妙处。因此，《算学课艺》不仅是考察数学教育的重要文献，同时也是考察西方力学在晚清吸收、消化、传播的最好的研究对象，同时也是研究晚清数学教育的特点的重要文本。

二、《算学课艺》中的力学问题

西方力学明末清初传入中国，主要是古典静力学和零星的近代动力学知识。鸦片战争之后，系统的经典力学内容开始传入，其中传入最早、最为系统的是李善兰和艾约瑟翻译的《重学》。该书包括了当时西方经典力学的几乎所有知识，数学上应用了代数学和微积分，采用公理化体系。就经典力学的整体内容而言，《重学》中没有涉及圆周运动，只是给出了处理曲线运动的一般方法；动能定理的表述也不够规范（动能表达式是mv2而不是日译教科书如《物理学》、《力学课编》等传入之后，这部分知识在晚清有完整的表述。从总体而言，晚清传入的其他力学著作的知识难度都没有超出重学。

《算学课艺》中涉及的力学问题如表1，其特点如下：

（1）涉及的内容广泛。《算学课艺》涵盖了《重学》中的大部分主要内容，也基本覆盖了晚清传入的大部分经典力学的内容。在34个力学问题中包含了静力学、动力学、运动学的内容。最多的是抛体和重心问题，均为10个。另外，还涉及万有引力定律（2个）、流体力学（3个）、简单机械（3个，直杆、曲杆、轮轴）、比重2个，碰撞问题、速度的合成、动能定理、刚体平衡等各1个，详见表1。

（2）力学知识难度较大。《算学课艺》不仅包括初等、中等力学问题，如重心问题、碰撞问题、运动的合成与分解、抛体问题等，也涉及高等力学知识，如刚体的转动等。如25题：“凡悬轮其每点所具之力按距轴心自乘正比，其理若何？”汪凤藻对该题的答案是：力这里的力是现在的力矩，角速是角加速度，质重为质量，表达为现在的公式则是为圆盘绕过质心的轴的转动惯量，β为角加速度。此题涉及到刚体转动的动力学方程。这部分内容是晚清力学传播的薄弱环节，自《重学》传入之后，除了在《实务通考》中有所涉及之外，其他编译书籍中少有提及。［7］

表1 《算学课艺》中涉及的力学问题

（3）比较注重知识的更新，如涉及到了动能定理，由于动能定理在19世纪30年代之后有完整表述，李善兰翻译《重学》时，《重学》中的动能的表达还只是mv2，但在20题陈寿田的答卷中却有完整的表述，这说明在教学中，李善兰不仅传授《重学》中的内容，还注意《重学》中不完备知识的更新。

（4）《算学课艺》中术语和表示方式基本沿用了《重学》中的术语和表示方式。如符号和表示方式还是用到中国传统数学中的天元术，用天、地、人、物表示未知数，分数的表示法，仍然使用分子在下，分母在上等，这与李善兰翻译的《重学》、《代微积拾级》等著作的符号使用基本相同。术语也大部分使用了《重学》中的术语，如“重距积”（力矩），“地力”（重力加速度），“倚点”（支点），“凸力”（弹性力），“最远界”（射程）等。

从上述分析来看，《算学课艺》所涉及的力学内容较为全面，而且也达到了一定的难度，特别是动力学中的抛体问题、碰撞问题、刚体转动等问题都有涉及，这在当时的力学知识的教学中是少有的。从所涉及的内容来看，也能看出重心问题和抛体问题在当时受到了特别的重视，这两类问题的总数达到了全部力学问题的近三分之二。这一点与晚清力学传播的整体情况是一致的。［8］

三、《算学课艺》数学应用的影响

晚清算学课艺很多［9］，［3］，但大部分算学课艺都是纯数学问题，像同文馆《算学课艺》这样涉及这么多力学问题的还非常少见。这种学习数学的方式也产生一定影响，如，杨兆鋆的《须曼精庐算学》也有同样的风格。

杨兆鋆（1854－？）字诚之，号须圃，浙江乌程人。同治六年（公元1867年）入上海广方言馆。同治十年（公元1871年）由两江总督曾国藩第二次咨送到京师同文馆英文馆学习。光绪五年（公元1879年），杨兆鋆毕业后升迁出馆，任苏松太道公署翻译。光绪十年（公元1884年），随许景澄公使出洋。归国后，以道员身分发江苏补用。光绪十九年（公元1893年），杨兆鋆任金陵同文馆教习，兼授算学。杨兆鋆1898年撰写完成《须曼精庐算学》［10］二十四卷，但没有刊刻。1916年才由浙江吴兴刘承干嘉业堂刊刻，1986年浙江图书馆文物出版社据吴兴刘氏嘉业堂本影印与《婴桐庐算剩》合刻成七册［11］。

杨兆鋆在算学方面有很深造诣，其算学才能得到李善兰、席淦等人的高度赞赏。席淦在《须曼精庐算学》原序中说：“从游者六七十了，观察年最少，而资凛独异，遇有算学疑难问题，他人百思而不获者，观察则以数言解决之。每一稿出，皆相顾骇服。壬师时加批奖，有游心藕丝孔中之喻”。［10］杨兆鋆的“资凛独异”从他在《算学课艺》中力学问题答卷的数量和涉及的问题也可见一斑。从表1看到，《算学课艺》中同一人的力学问题答卷最多的是汪凤藻、贵荣和杨兆鋆，各4份，其次王宗福3份，其余的2份或1份。其中杨兆鋆的4份答卷中，刚体平衡1份，重心2份，碰撞1份，涉及的问题有一定难度。由此可说明杨兆鋆在同文馆时期成绩比较突出。

杨兆鋆的《须曼精庐算学》大部分内容源于在京师同文馆中所学，如其在自序中称“凡六年受于李壬叔先生（即李善兰）者，釐定若干卷”。《须曼精庐算学》涉及圆锥三曲线、天文历法、重学、几何、垛积、不定方程等方面的内容。卷六、七、八涉及力学问题，分别是“力学探原”，“重心释理”，“动定格物”。

“力学探原”涉及力的合成分解和碰撞问题，还涉及了速度的合成分解。“重心释理”主要涉及重心问题和部分刚体平衡问题，包括直角三角形、等边与不等边三角形、半圆形、四分之一圆，120度圆面，60度圆面的重心、不等边六边形的重心以及质点系的重心等问题，还涉及了负面积法求重心，即物体或薄板内切去一部分（例如有空穴的物体）的重心问题的求解。“动定格物”涉及了匀变速运动，其中包括自由落体、竖直上抛运动，也有液体的压力、压强、密度等问题。在这些内容中没有力学概念、定理、定律的介绍，各部分内容以例题的形式来体现力学问题中数学方法的应用，与《算学课艺》的形式极为相同。

另外，《须曼精庐算学》中还有一些问题直接来源于《重学》，如“有三角铁板重一百二十斤，其三边三四五之勾股形与三角，承以三柱，三柱所受压力各若干。”此题与《重学》卷六“论刚质相定之理”，“假如有刚体加于三垂足架上，求每足抵力。”的题的内容相似，如图1－1与1－2。又如“凡重物于垂圆面之周，不论何处由通经行至底点其时相等，试解其理。”与《重学》卷十“论加速及互相牵引之理”第三款：“设平圆面直交地平，自顶点至圆界做诸通弦，则物在任何通弦下行自顶点至末点时刻俱等”相似，如图2－1和2－2。这两个问题基本是《重学》中两个问题的变形。

从《须曼精庐算学》的内容来看，大部分类型问题均可在《同文馆算学课艺》中找到源头。［12］而力学问题基本来源于《重学》。由此可以看出，杨兆鋆不仅在数学上受李善兰影响，在对数学问题的思考、应用上也受到李善兰的影响。

从西方科学的发展历程来看，数学与力学是密不可分的，所以有“混合数学”（mix mathematics）之称，力学从数学独立出来也是近代以后的事。晚清李善兰与艾约瑟翻译的《重学》的英文原本是休厄尔（William Whewell，1794－1866）著的 An Elementary Treatise on Mechanics。该书是剑桥大学数学改革的结果，其主要目的是引进法国分析数学，主要方法是要将数学方法应用于物理问题，以便让学生更好地理解数学。［13］数学在西方那个时期的科学中，仍然占据着统治地位。其中力学也就成为数学物理学或混合数学。

从这一点上看，《算学课艺》选择较多数量的力学问题某种程度上反映了数学与力学的天然的关系。而从传播力学知识的角度而言，《算学课艺》的内容和形式在晚清的力学传播中也是屈指可数的。晚清西方经典力学传入之后，也有一些有“重学”或“力学”字样的丛书中专门探讨力学内容，其内容多是概念的摘抄梳理，有的虽然有“测算”的字样，但实际上力学的定量化方法被滤掉，代之以大量的知识点的梳理，基本没有体现用数学工具解决力学问题的方法。这是晚清力学传播的特点，也是缺憾。但在同文馆的数学教学中能够贯穿如此丰富的力学知识，非常难得。正如丁韪良对他们的成就大加赞赏：“阅者于诸生造诣亦可略见一斑，是皆李壬叔先生教授之力也。呜呼！合中西之各术，绍古圣之心传，使算学复兴于世者非壬叔，吾谁与归？将来果能开历算之科以取士，定见奇才辈出，而天下儒林亦莫不肄业及之，则防海御边诸策皆不期而自备矣。”［5］

从对《算学课艺》中的力学问题的分析中可以看到京师同文馆的数学教学的一个侧面，不仅有纯数学问题的探讨，同时也有用数学解决力学、天文学问题的训练。数学不仅是抽象的、逻辑的，而且“算学之窔奥正寓于事物之寻常”，展现了数学在解决实际问题时的奇妙之处。从这个意义上讲，京师同文馆的数学教学也值得我们现代数学教学的借鉴。

［注释］

①最初某布尼兹取mv2为活力，而不是mv2/2，到19世纪20年代，当代法国学者科里奥利引进功的概念后，才成为mv2/2。

［1］李兆华.中国数学史大系（第8卷）［M］.北京师范大学出版社，2000.276.

［2］李兆华.中国近代数学教育史稿［M］.山东教育出版社，2005.45.

［3］李兆华.晚清算学课艺考察［J］.自然科学史研究，2006（4）：322－342.

［4］缪悦.从京师同文馆算学试题看早期的新式数学教学［J］.徐州师范大学学报（教育科学版），2010（2）：82－85.

［5］席凎，贵荣.算学课艺［M］.光绪六年（1880）同文馆聚珍版.

［6］丁福保.四部总录算法编［M］.文物出版社，1984.

［7］聂馥玲.晚清《时务通考》对西方力学知识的传播［J］.力学与实践，2012（1）：111－115.

［8］聂馥玲.晚清汇编丛书对力学知识的传播［J］.西北大学学报（自然科学版），2012（3）：527－532.

［9］李迪.清末的书院与"算学课艺"［C］.中日近现代数学教育史（第三卷），ハンカイ出版印刷株式会社，1999.146－153.

［10］杨兆鋆.须曼精庐算学［M］.吴兴嘉业堂刊刻，1916.

［11］王全来.同文馆毕业生杨兆鋆及其数学工作［D］.天津师范大学硕士论文，2001.10.

［12］王全来.清末数学教育的一个案分析－－李善兰数学工作对杨兆望的影响［J］.广西民族大学学报（自然科学版），2008（3）：27－30.

［13］Todhunter.William Whewell，D.D.Master of Trinity College Cambridge：An Account of his Writings with Selection from his Literary and Scientific Correspondence（2vols）［M］.London，1876：16.