基于大学生创新能力培养的数学猜想思维教学研究*

2013-06-28周宇剑

长沙大学学报 2013年2期

周宇剑

(湖南科技学院数学与计算科学系，湖南永州425100)

“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力.”大学生是未来掌握高端技术和前沿知识的特殊群体，其创新能力水平直接关系到中华民族的兴旺与发展.创新能力包括创新意识、创新思维和创新技能等智力和非智力因素.培养大学生创新能力的核心在于对创新思维能力的培养.“数学是思维的体操”，通过对大学生进行发现新问题、猜想新方法、解决新问题的数学猜想思维培养，将在培养大学生创新意识、创新品质、创新技法、创新技巧等方面产生深刻影响，从而有助于提高他们的创新能力.牛顿曾说:“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”波利亚也说“要成为一个好的数学家，你必须首先是一个好的猜想家.……假如你希望用一句话来说明什么是科学的方法，那么我提议它是:猜测和检验”［1］.

1 相关概念

猜想指个体根据非结论性的证据所作的推测.即联系已有知识与经验对研究的对象或问题进行观察、分解、选择、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，作出符合一定经验与事实的推测性想象的思维形式.它是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程.对于数学研究或发现学习来说，猜想方法是一种重要的基本思维方法［1］.数学猜想指在数学学习或解决问题时展开的分析、尝试和探索，是关于涉及到数学的问题的主导思想、方法以及答案的形式、范围、数值等的猜测［2］.数学猜想是一种非逻辑性方法，它包括类比猜想、归纳猜想、探索猜想、仿造猜想、审美猜想等形式.数学猜想实际还是一种数学思想方法，是人的思维在探索数学规律和本质时的一种策略，是建立在事实和已有经验基础上的一种假定，是一种合理推想.数学猜想具有假定性、可行性和创新性三个基本特征［3］.数学事实首先是被猜想，然后是被证实.数学猜想的形成过程就是针对研究的对象或问题联系已有知识与经验进行形象的分解、选择、加工、改造的整合过程.个体根据自身已有的认知结构和对现有数学问题或需要应用数学知识解决的相关的实际问题的不断认识与筛选，由最初的对问题的感性认识过渡到理性地把握问题的实质，猜想可能解决问题的思路及可能要运用的策略，使个体对问题的认识更加具体、细微，从而缩小解决问题的方法或策略与顺利解决问题之间的差距，促进问题得以解决.同时，数学问题的成功解决并不一定仅靠一次猜想探索就能顺利完成，需要不断地变更思路［4］，在“已知—可知—须知—求知”的思维链中，不断寻求和修正问题解决的策略与方向，直至成功解决问题.只有认识到数学猜想的意义，具有了猜想的意识，才能在数学问题情境中大胆地提出并验证猜想.

2 培养猜想思维能力的必要性研究

2.1 大学生数学能力水平测试介绍

采用Blair Aolsin著，刘烨编译的《世界500强职商测试题》中的《数学能力测试题》于2011年5－6月对湖南科技学院来自全国28个生源省的大一至大四的学生进行了测试，共10个数学选择题，每题3分，共30分.按同一测试量表、同一要求对被抽对象进行10分钟的测试，按同一标准统一阅卷和登记统计.总样本容量为1812人(男973人，女839人).

2.2 测试分析与结论

2.2.1 大学生数学能力水平不尽如人意

其中，速度=正确题数/测试时间(分钟).

表1 大学生数学能力测试情况描述

表2 得分频数分布表

由表1可看出，全校被试学生的得分平均值为18.92，才刚刚超过合格成绩.他们的解决问题的速度也只是1分钟解决0.631个.由表2可看出，大学生的数学能力水平并不太尽如人意.35.1%的大学生达到合格(18－21分)，31.3%的大学生获得优秀(24－30分)，还有33.6%的大学生数学能力测试不及格(18分以下).

2.2.2 猜想思维能力在数学能力测试中起重要作用

事实上这些测试题并不高深莫测，只涉及数学计算、方程、函数等内容.高中生甚至初中生就可以做.对于这10个选择题，许多学生都非常认真地按部就班地设元求解，最后的结果就是10分钟到了，还有好几个题目没做完.而事实上，这些看似需要计算的数学问题，如果采用猜想法，几乎不用10分钟就可以推断出来.但是，这中间似乎出现一种误区，就是:既然是数学能力测试，肯定少不了计算，而这10个问题均可通过基本的列方程计算出来.于是大家都埋头苦干起来.但是，有的题目甚至不需要列方程，只要仔细分析题意，经过猜想和验证就可以直接得出要选的结果.

例如:兄弟三人分苹果，每人所得的个数等于其三年前的年龄数，而苹果共有24个.如果老三把所得的苹果半数平分给老大、老二，然后老二把所得苹果的半数分给老大、老三，最后老大把所得的苹果的半数平分给老二、老三，则每人手里的苹果相等.请问:兄弟三人年龄各是多少?

(A)老大12岁，老二6岁，老三3岁;

(B)老大13岁，老二7岁，老三4岁;

(C)老大16岁，老二10岁，老三7岁;

(D)老大19岁，老二13岁，老三10岁.

这道题目用猜想法很快可以得出答案.猜想兄弟年龄如果确定，那么它们的年龄和应为24+9=33.计算一下4个选项中兄弟三人的年龄和，马上可以得出答案选C.但是如果计算的话，费时一定不少.由此，反映出的问题是:很有必要对学生进行猜想思维的培养和训练.

3 培养大学生数学猜想思维的有效途径

3.1 在概念教学中注重有意识地诱导学生猜想

数学定义、命题、公式、法则、性质、定理及其推论教学，是引导学生猜想的大好时机.在这些内容的教学中，要善于诱导学生猜想，从实际生活中的实例或从已有的数学经验出发，引导学生自己由类比或归纳猜测出要学习的相关概念与结论.

例如:在教完数列的极限后学习函数的极限时，可以就数列的极限的定义、性质让学生类比猜想函数的极限的定义和相关性质.由于函数极限与数列极限一样，也具有唯一性、有界性、保号性等性质，并且证明方法和几何解释也类似，学生通过思考和猜想，完全可以类比出函数极限的定义和相关性质.同样，在学了导数、微分的相关概念与性质后，可以引导学生通过归纳与类比，猜想高阶导数、高阶微分的定义与相关性质;学完函数的凸性相关概念和性质后，可引导学生猜想函数的凹性的相关概念和性质;由水平渐近线的概念猜想垂直渐近线和斜渐近线的概念;由求不定积分的方法猜想求定积分的方法;由无穷小的性质猜想无穷大的性质;由初等函数的连续性和极限运算性质猜想幂指函数的连续性与极限运算;由定积分的概念与几何解释猜想二重积分的概念与几何解释;由左右极限的概念猜想左右导数的概念;由一元复合函数的求导与微分法猜想多元复合函数的求导与微分法;由一阶偏导数的求法猜想高阶偏导数的求法;由一元函数相关性质猜想多元函数相关性质;由区间的概念猜想平面内区域的概念;由一维随机变量及其分布中的相关定义、分布律、密度函数、随机变量间的独立性等猜想出二维、三维、四维乃至更高维随机变量及其分布的相应结论，等等.

在教授过程中也可利用归纳猜想引导学生学习相关概念与定理.如在进行微分中值定理的讲解时，先介绍简单的罗尔定理;再去掉它的第三个条件，引导学生猜想出拉格朗日中值定理的结论;再进一步引导学生将拉格朗日中值定理推广猜出柯西中值定理的结论;把随机变量的期望、方差、协方差、矩等数字特征放到一起归纳其共性时学生很快会猜想出这几个数字特征都可以用数学期望来表示，矩是一般式或通式，期望、方差和协方差都是矩的特殊情形等.

当然，并不是所有的猜想都是科学的、正确的.如，一阶微分具有微分形式不变性，但高阶微分却不具有形式不变性;一元函数中，函数在某点可导必连续，但在多元函数中，函数在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续;一元函数可微与可导是等价的，但二元函数在某点可偏导时却不一定能保证在这点可微;又如利用极限的运算法则猜想微分运算法则时，其中加减法是可以相通的，但微分的乘除法已经不能用极限的乘除法法则延伸了.对于这些特殊的情况，一定要着重引导学生认识并接受，避免他们在以后的应用中出错.