复变函数课程的教学方法探讨*

2013-08-15尹景本赵晨萍

长沙大学学报 2013年2期

尹景本，赵晨萍

(河南科技学院数学科学学院，河南新乡453003)

作为数学专业的一门重要基础课，复变函数在数学课程体系的地位非常重要，它是数学分析在复数域上的延拓，在知识结构、理论体系、研究方法等方面，二者密切相关.数学专业的调和分析、泛函分析、数理方程等课程与复变函数有较大的联系.通过本课程的学习不但巩固了数学分析的知识，而且为后续课程打下了坚实的理论基础.

上世纪末，我国的高等教育进行改革，新的专业课程不断涌现，原来的一些专业课教学课时数不断减少［1］.因此一些高校的复变函数课时缩减了25%，因此不可能像原来那样按部就班地讲授所有的课程内容，有些内容不得不让学生自学，有些知识点一带而过.老师为了赶课讲得累，学生思维跟不上，对学过的知识像囫囵吞枣.这样，课程的严谨性得不到保证，学生也不能系统地掌握基本理论.学生感到习题难做，因为他们对那些基本概念似懂非懂，从而失去了学习的积极性，这无益于人才的培养.另外，复变函数是数学专业的专业基础课，传统认识是复变函数课程应该重视理论讲授，但这种灌输式教学不能很好发挥学生的主体作用，学生获得的课堂信息量较小.

为了使学生在有限的课时内既能够掌握基本理论，又了解其应用，在复变函数课程教学内容、教学方法与教学手段上进行了改进.

1 合理安排教学内容

数学专业的复变函数课时减少了，教材一般仍采用钟玉泉编的《复变函数论》第三版，这必然涉及到教材内容的取舍.复变函数的主要研究对象是解析函数，主要的研究内容就是解析函数的Cauchy积分理论即复变函数的积分、解析函数的Weierstrass级数理论即解析函数的 Taylor展式及Laurent展式，以及Riemann的共形映射理论［2］.我们要重点讲解基本概念、性质、定理，分类归纳基本解题方法，讲清证明思路.对于复数的基本概念，学生在高中阶段已经学习过，可以略讲.解析延拓和调和函数可以删去或仅简要介绍一下基本内容和方法.解析理论部分着重讲解初等解析函数的多值性及其单叶解析分支.对于那些费时多，学生又难于理解要求较高的章节，且与后续课程联系不大的可以不讲，让学有余力的学生自学.

数学专业新的培养目标，不仅要求学生具备扎实的数学理论基础，同时还要求学生有解决实际问题的能力.应当适当增设实验课，那些繁杂的运算代之以计算机和数学软件处理.譬如展开有理函数的部分分式、计算留数均可采用Matlab软件来完成，使学生从这些初等运算中解脱出来，只需搞清其数学思想，知道怎么转化即可，从而提高学生的学习兴趣.

2 认真组织教学过程

2.1 课程的引入

第一堂课先向学生简单介绍复变函数在数学专业培养方案中的重要地位，举例说明它在理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学、自动控制学、信号处理、电子工程技术等领域的应用，抓住学生的好奇心，使他们产生学习该课程的渴望，激发其学习的积极性;然后介绍复变函数的主要研究对象(解析函数)与数学分析的研究对象(连续函数)之间的区别与联系，自始至终都可采用这种对比的教学方法.在研究极限与连续性时，与二元函数的极限进行比较，找寻其共性与差异，认真区别二者的本质.学习函数的连续性、可导性、可微性和可积性时，学生对照二元函数的一系列性质可以自己总结，培养学生的自学能力;最后向学生指明课程的几大模块，让学生对该课程的框架有一个总体认知.

2.2 多种教学方法并用

概念是学好数学课程的关键.在引入概念时，先介绍一些物理背景，找出其共性，抽象出其本质，用数学语言来描述，从而形成概念.在对概念的启发式教学过程中，建立复变函数知识构架，按照新的知识构架，加强学生的思维训练，达到提高学生数学素养的目的.

在讲授定理的证明与积分的计算时，多采用类比法.通过和数学分析比较，便于学生加深对实函数的理解，进而更清楚地认识复变函数.如在数学分析课程中，从几何角度分析，总结归纳出定积分的定义，而在复变函数中，我们是直接从表达式入手得出复积分的定义［3］.

在讲授概念的性质与定理的几何意义时，多采用图示法，加强几何思想在教学中的渗透，积极培养学生的几何直观感，这样不但改变学生普遍存在的几何思想差的现象，同时由于几何的直观性更加容易引起学生的学习兴趣.

在讲授复变函数的应用时，多采用问题驱动法.教师根据授课内容，设置情景，提出问题，让学生发现解决实际问题需要的理论知识，培养学生发现、分析、解决问题的能力.同时给学生留思考题，让他们利用所学知识撰写小论文.如学习复数的幅角时，我们提出:“为什么现在市场上涌现出大量的数码相机，而普通的像机有被取而代之的趋向?”同学们会说:“数码像机成像有立体感.”“为什么数码成像会有立体感?”学生们陷入沉思，迫切想知道其原由，这样引起了他们对知识的渴望.当学习了本节内容后，他们知道原来数码相机不仅反映每个点的距离，而且也反映该点的位置，也就同时反映了复数的模和幅角.这样学生对本节知识掌握得更加牢固，而且让学生感到所学知识有非常广泛的应用环境，激发他们的创造欲.

正如杨叔子先生所言，“学习是为了实践.没有实践，没有证实，就没有科学”［1］.我们在讲授复变函数理论知识时，一定要结合实际应用背景，唯有此，才能体现学科的价值，才能抓住学生的心理，把学生的思维紧紧集中在课堂上.

2.3 加强师生互动［4］

由于扩招后一个授课班级学数达到120人甚至更多，为了调动学生的积极性，活跃堂气氛，必须加强师生互动，使学生真正参与到教学中去，成为教学的主体.在讲授复级数基本性质时，先复习一下实级数的性质，让学生猜想复级数的性质，然后重点分析二者的性质哪些是相同的，哪些是不同的.在学习复积分的计算时，先举出实积分的一些例子，有些例子用实积分的方法处理非常麻烦，板书四、五板块才能做出，有的甚至根本无法求解，这时启发学生使用Cauchy积分公式或留数定理，转化为初中代数运算，在一两分钟内解决问题.这样让学生感受到复积分方法的神奇，提高学生的学习热情和积极性.

3 注重教学手段多样化

数学专业的复变函数虽然以公式推导理论阐述居多，在教学中我们应将多媒体与传统的板书结合起来，定理、例题等可以采用投影仪，证明与计算采用板书.对一些较复杂的图像，最好采用多媒体，这样立体感较强，图文清晰，若采用人工画图，有时需要十几分钟，大大浪费了宝贵的授课时间.由于多媒体投影屏幕大，有利于大班授课，比较适合当前扩招的现状.一些优秀的数学软件，像Mathematica、Matlab等在我们的教学过程中合理使用也会起到事半功倍的效果.多媒体课件与板书一样是辅助讲课的.利用数学软件与多媒体授课，学生能把视听结合起来，信息量大，老师有更多的时间帮助学生掌握复变函数的思想和方法，理解其本质与精髓.因此，利用多媒体授课即能丰富教学内容，开阔认知领域，扩大学生的视野，也使教学的互动性成为可能，解决了复变函数课时偏少的问题［5］.在定义复平面上的无穷远点、描述扩充复平面和复球面的对应关系以及表示共形映射时，采用多媒体投影，学生反应强烈，情绪高涨.多媒体课件的制作花费大量的时间和精力，教师若将更多的精力放在课件的外观、功能、效果的设计上，没有花时间钻研教材教法或忽视了教材教法的研究是不可取的，多媒体是用来支持教学工作，主要用来解决一些传统教学中不易解决的问题.