有界变差连续函数族的纲性

王磊杰

（文山学院 数理系，云南 文山 663000）

有界变差连续函数族的纲性

王磊杰

（文山学院 数理系，云南 文山 663000）

利用Baire纲定理证明了连续函数空间C[a，b]上有界变差函数全体是第一纲集，多数连续函数的图像是不可求长曲线。

可求长曲线；有界变差；第一纲集

1 预备知识和定理

符号C[a，b]表示闭区间[a，b]上连续函数全体，定义

则C[a，b]成为一个完备度量空间。 熟知的事实是闭区间[a，b]上连续函数f(x)的图像未必是可求长曲线，它可求长当且仅当f(x)是有界变差函数［1］。关于有界变差函数较细致的研究可参看文献［2］。

Baire定理［3］完备度量空间是第二纲集。

2 主要结论

Banach证明了处处不可微连续函数全体是第二纲集，见文献［3］。 采用相似的做法可以证明不可求长连续函数全体是第二纲集。

定理1空间C[a，b]上有界变差函数全体是第一纲集

证明：令A表示C[a，b]上有界变差函数全体所成集合。 设f(x)∈A，对f(x)的任意ε邻域U，我们证明U中含有非有界变差函数。

则g(x)不是有界变差函数，且d(f，g)＜ε，所以U中含有非有界变差函数。

下证A是闭集。令Am表示全变差小于等于m的有界变差函数全体，则。

设f0(x)是Am的聚点，函数列fn(x)∈Am(n=1，2，…)收敛到f0(x)，因为函数列fn(x)满足

且一致收敛到f0(x)，所以f0(x)也是有界变差函数，即Am是闭集。

综上所述，Am是疏集，所以A是C[a，b]中的第一纲集。

由这个定理及Baire定理可得如下重要结论

定理2连续函数空间C[a，b]中非有界变差函数全体是第二纲集，即多数连续函数的图像不可求长。

注：显然，有界变差函数未必处处可导，例如折线函数；另外，可微函数也未必有界变差，函数

在[0，1]上全变差为无穷大［4］。 即使f(x)的导函数无界，也有可能有界变差，例如函数

这些例子也说明非有界变差函数族的纲性无法从不可微函数族的纲性直接得到。

［1］周民强.实变函数论［M］. 北京：北京大学出版社，2001：246-247.

［2］包淑华.基于有界变差函数的研究［J］. 廊坊师范学院学报，2011（2）：16-18.

［3］张恭庆，林源渠. 泛函分析讲义(上册)［M］.北京：北京大学出版社，1987：90-93.

［4］汪林. 实分析中的反例［M］. 北京：高等教育出版社，1989：308-309.

The Category of Continuous Functions of Bounded Variation

WANG Lei-jie
(Department of Mathematics and Physics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

This paper justifies that the set of functions of bounded vatiation in C[a,b] is nowhere dense set by using Baire theorem，and all most graph of continuous functions are not rectifiable.

Rectifiable curve; bounded variation; nowhere dense set.

O174.1

A

1674-9200（2013）03-0032-02

(责任编辑 李世云)

2013 - 04 - 26

王磊杰（1980 -），男，河北武安人，文山学院数理系助教，硕士，主要从事动力系统研究。