将可对角化矩阵进行对角化的一种简洁方法

高美平

（文山学院 数理系，云南 文山 663000）

将可对角化矩阵进行对角化的一种简洁方法

高美平

（文山学院 数理系，云南 文山 663000）

矩阵是高等代数中一个重要的概念，而对角矩阵作为一种特殊的矩阵，它在理论研究方面有重要的意义。本文利用矩阵相似的初等变换，给出可对角化矩阵对角化的一种简洁的方法。

矩阵相似；初等变换；对角化；对角矩阵

形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，并且研究矩阵对角化问题是很有实用价值的，例如求矩阵的高次方幂、利用矩阵的特征根求矩阵的行列式值、线性变换可对角化问题等方面都有应用。因此，矩阵的对角化问题成为高等代数研究的重要问题之一，许多专家和学者经过不断的努力得出了一系列有关矩阵对角化的结果［1-6］。

文献［1］和［2］中，给出了矩阵的可对角化问题的判别方法和对角化的方法；文献［3］根据文献［1］得出了由特征矩阵和单位矩阵进行相似的初等变换，使得矩阵对角化的一种方法；文献［4］给出了关于矩阵可对角化的几个条件；文献［5］给出了化实对称矩阵为对角矩阵的计算机算法；文献［6］给出了两个特征根矩阵对角化的方法。

本文继续对可对角化的矩阵如何进行对角化的方法进行探讨，得出了将可对角化矩阵进行对角化的一种简洁方法，该方法比文献［1-3，6］中的方法更加简单。

1 定义和引理

定义1［1］数域F上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：

（1）互换矩阵的两行；

（2）以F中一个非零的数k乘以矩阵的一行；

（3）把矩阵的某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）。

同样可定义矩阵的初等列变换，称矩阵的初等行变换和初等列变换为矩阵的初等变换。

定义2［2］由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，且分别记为P，D（k），T（k）。

定义3［3］若n阶方阵A、B满足： 存在可逆n阶方阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，称P为相似变换矩阵。若A与对角矩阵相似，则称A可对角化。

定义4若对矩阵A作运算Q-1AQ，其中Q是初等矩阵，则称对A作相似的初等变换。

引理1.1［2］n阶矩阵A可逆当且仅当A可以写成初等矩阵的乘积。

引理1.2［2］初等矩阵都是可逆的，且。

引理1.3［1］对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。

定理1.1对矩阵A实行相似的初等变换相当于实行一次行和一次列的初等变换，其变换如下

（1）Pij-1Apij相当于对矩阵A交换第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行。

（2）Di-1（k）ADi（k）相当于对A的第i列乘以k，然后对第i行乘以。

（3）Tij-1（k）ATij（k）相当于对矩阵A的第i列乘以k加到第j列，然后把第j行乘以-k，加到第i行。

证明由引理1.3和1.2容易得证。特别指出可以先作行的初等变换，再作列的初等变换也可以。

引理1.4［2］相似的矩阵有相同的特征多项式。

为了方便叙述引入以下符号：

ri表示矩阵的第i行；ci表示矩阵的第i列；ri×k表示对矩阵的第i行每个元素乘以数k（k≠0）；（ri，rj）表示交换矩阵的第i行与第j行；ri×k+rj表示矩阵的第i行每个元素上乘以数k加到第j行对应的元素上作为第j行的元素。同样用ci×k，（ci，cj），ci×k+cj表示相类似的列的初等变换。

2 主要结果

关于方阵A可否对角化的判定和计算，通常是利用特征根和特征向量来进行。文献［1］和［2］中指出先求出矩阵A的特征根，然后求出属于各个特征根对应的特征向量，最后取这些特征向量作为列向量的矩阵为矩阵P，这样P-1AP就是对角矩阵，且其对角线上的元素正好是矩阵A的特征根。 文献［1］和［2］的方法中涉及到计算行列式和解线性方程组等问题。

本文给出利用矩阵的初等变换解决矩阵对角化问题， 这样不必计算行列式，也不用解若干的齐次线性方程组。以下是本文的结果。

定理2.1若矩阵A可对角化，则A可经一系列相似的初等变换得到对角矩阵B，且B的对角线上的元素是A的特征根。

证明：由矩阵A可对角化知，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，且B是对角矩阵。

由引理1.1得P=q1q2…qs，其中q1，q2，…，qs是初等矩阵。从而B=（q1q2…qs）-1A（q1q2…qs）。

因为矩阵的乘法满足结合律，所以得：B=qs-1…（q2-1（q1-1Aq1）q2）…qs。

引理1.3表明矩阵A通过相似的初等变换得到对角矩阵B。从而A与B相似，又由引理1.4得， 对角矩阵B的对角线上的元素是A的特征根。证毕

注：由定理2.1得，其中A是n阶可对角化的矩阵，E是n阶单位矩阵，B是与A相似的对角矩阵。这样对于可对角化的矩阵A，找到了可逆矩阵P，使得P-1AP=B，且在验证是不是经过相似变换时，只要检验PP-1或P-1P是不是单位矩阵即可。

3 算例

在“学生讲课型”课堂互动模式中，教师课前将授课PPT进行分享，然后指定章节安排小组学生课上讲授，授课过程中有问题教师实时补充，具体课堂活动时间序列见表3所示。在该模式中，师生角色发生了转换，即学生变成了知识的拥有者和传播者，积极主导课堂教学活动，教师则转变为教学活动的导演和学生身边的教练。小组学生授课结束后，师生就讲演者的教学内容、教学形式、特色创新等方面进行评价。“学生讲课型”课堂互动模式促进了学生逻辑能力和表达能力的提升。

于是P=。容易验证P-1P=E，P-1AP=。

例1的结果与文献［1］308页得到的结果是相同的，而本文的方法相对于文献［1］比较简单，计算量也少。

解： （方法一）矩阵A的特征多项式是。所以矩阵A的特征根是1（二重）和-1。对于特征根1，求出齐次线性方程组的一个基础解系，即{（1 0 1），（0 1 0）}。对于特征根-1，求出齐次线性方程组的一个基础解系，即（-1 0 1）。取

为了验证P-1AP是不是对角矩阵diag（1，1，-1），还需要计算出P-1。

因为detP=2，矩阵P的代数余子式P11=1，P12=0，P13=-1，P21=0，P22=2，P23=0，P31=1，P32=0，P33=1。

例2表明对于可对角化的矩阵中0元素比较多的情况，方法二（本文得到的方法）比方法一（文献［1］和［2］的方法）计算量少，且方法二在求解的过程中，就能把可逆矩阵的逆矩阵也同时求出来，不用单独去求逆矩阵。另外本文得到的方法只是对矩阵实行相似的初等变换，这是比较熟悉的方法，比解线性方程组和求行列式容易实施。

4 结束语

本文利用矩阵相似的初等变换给出了，将可对角化的矩阵进行对角化的一种简洁的方法。该方法比文献［1］和［2］中的求特征根、特征向量的方法更加简单，而且计算量小。

本文得到的方法在求解的过程不涉及到计算行列式和求解若干线性方程组，且同时能找到相似变换矩阵P及其逆矩阵P-1。只需要验证：P-1P是不是单位矩阵E就可以判断对矩阵A实行的变换是不是相似变换。另外只要验证P-1AP是不是等于对角矩阵B就可以判断该矩阵P是不是要找的可逆矩阵。矩阵的初等变换对于学习过《高等代数》的学者来说是非常熟悉的，所以，本文得到的结果为学者提供了将可对角化的矩阵对角化的一种简洁的办法。

［1］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，1988：70-308.

［2］张禾瑞，郝鈵新. 高等代数［M］.北京： 高等教育出版社，1981：194-292.

［3］许必才.矩阵相似对角化的初等变换求解［J］.西华大学学报：自然科学版，2005（2）：11-12.

［4］戴平凡，黄朝铭.关于矩阵可对角化的几个条件［J］.常州工业学院学报，2010（1）：35-38.

［5］姜友谊，应宏，王绍恒.化实对称矩阵为对角矩阵的计算机算法［J］.西南民族学院学报：自然科学版，2002（4）：428-432.

［6］靳廷昌.有两个特征根矩阵的对角化 ［J］.数学通报，1997（11）：34-35.

A Simple Method for Diagonalization of Matrix

GAO Mei-ping
(Department of Mathematics and Physics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Matrix is an important concept in advanced algebra, but the diagonal matrix is a special matrix which has important significance in the theoretical research. In this paper, based on the matrix similarity transformation, a simple method for diagonalization of matrix which can transformed diagonal matrix is proposed.

Matrix similarity; elementary transformation; diagonlization; diagonal matrix

O151.21

A

1674-9200（2013）03-0020-04

（责任编辑 刘常福）

2013 - 04 - 26

云南省教育厅科学研究项目“M矩阵与其逆的Hadamard积的特征值下界估计”（2012Y270）；文山学院重点学科数学建设项目（12WSXK01）。

高美平（1977 -），女，云南鹤庆人，文山学院数理系讲师，硕士，主要从事矩阵理论及其应用研究。