三次函数的几何性质

玉邴图

（广南县第一中学，云南 广南 663300）

三次函数的几何性质

玉邴图

（广南县第一中学，云南 广南 663300）

新高中数学课程标准设置导数以后，中学数学报刊论述三次函数代数性质的文章多不胜数，而论述三次函数几何性质的却寥寥无几。为此，文章从几何角度对三次函数进行研究，得到三次函数极值点的一组几何性质，它对解答或编拟三次函数的创新题目具有广泛的应用。

三次函数；几何性质；应用

定理1三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，两个极值点连线的斜率。

证明：设两个极值点为P（x1，y1），Q（x2，y2），则

因为f '（x）= 3ax2+2bx+c，令f '（x）= 0得方程3ax2+2bx+c = 0 （2）

要使三次函数有两个极值点，则方程（2）须有两个不相等的实数根，即。由导数与函数极值的关系知x1，x2是方程（2）的两个根，y1=ax13+bx12+cx1+d ，y2=ax23+bx22+cx2+d，（此段内容，以下同，不再论述），由（1）得

定理2三次函数导数的两个零点之差的绝对值。

证明：由题意和方程（2）得两个零点之差的绝对值。

定理3三次函数的两个极值之差的绝对值。

证明：由定理2及应用方程（2）根与系数的关系得

定理4三次函数两个极值点间的距离。

定理5三次函数两个极值点和原点组成的三角形面积，，|A|表示对行列式A的值取绝对值。

证明：因为坐标原点为O（0，0），故该三角形面积为

故，由（4）和定理2得

将方程（2）的两根之和与积代入（5）得

定理6三次函数两个极值点与其图像和y轴交点组成的三角形面积，|B|表示对行列式B的值取绝对值。

证明方法与定理5相仿，从略。

定理7三次函数两个极值点的中点坐标是。

定理8设三次函数的两个极值点为P，Q，线段PQ的中点为M，则

① 当a为参数变化时，点M的轨迹方程是y = 2bx2+cx+d；

② 当b为参数变化时，点M的轨迹方程是y = -2ax3+cx+d。

证明：设M点的坐标为（x，y）由定理7得

定理9函数的两个极值点为P，Q，O点为坐标原点，则OQ⊥OP的充分必要条件是

证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），而O（0，0），则由题意得

按向量数量积运算法则，将其整理成x1+x2与x1x2的形式以后，将方程（2）的两根之和与积代入整理得18abcd+b2c2-4ac3-27a2d2-4b3d-9ac = 0。

定理10函数f（x）= ax3+bx2+cx+d（a≠0，两个极值点对其图像与y轴的交点张直角的充分必要条件是4ac2-b2c+9a = 0。

证明思路和方法与定理9相仿，从略。

三次函数是高考的重点和热点且占分值比较重，但是，纵观近十年高考的三次函数题，都是常见的常规题型，创新问题不多，有了上述几个定理，可很方便地编拟一些有创意的题目，下面略举数例说明。

例1求经过坐标原点且垂直于函数f（x）= -x3+2x2+2x+3两个极值点P，Q连线L的直线方程。

例2已知三次函数的两个极值之差的绝对值是2，求的值。

例3三次函数f（x）= x3+2x2-2x+1两个极值点为P，Q，其图像和y轴交点为M，O是坐标原点，三角形PQO的面积为S1，三角形PQM的面积为S2，求。

［1］刘宜兵.实系数一元三次方程实根的一个判别法［J］.数学通讯，2011（4）：37-38.

On the Geometric Properties of Cubic Function

YU Bing-tu
(No. 1 Middle School, Guangnan 663300, China)

After derivative is introduced in the new curriculum standards for the high school math, a lot of papers arouse which discuss algebraic properties of cubic function, but there are few that discuss the geometric properties of cubic function. Therefore, the paper, from a geometric point of view, studies the cubic function, and obtains a set of extreme points of geometric properties that has wide application for innovating cubic functions test paper.

Cubic function; geometric properties; application

O122

A

1674-9200（2013）03-0034-03

（责任编辑 李世云）

2013 - 03 - 25

玉邴图（1958 -），男，云南广南人，云南省特级教师，全国模范教师，云南省委联系专家，主要从事高中数学教学和解析几何理论研究。