以概念为中心的“线性代数”教学改革探讨

钟小品，曾文雯

(深圳大学 a.机电与控制工程学院;b.图书馆，广东深圳518060)

线性代数是工科院校学生必修的一门重要基础课程，也是工程数学中一个最基本的内容。随着科技的发展它已经被广泛地应用到各个学科当中，特别是在理工和经管类学科的运用中有举足轻重的作用。

目前高校开展的线性代数课程的学时数大致在32至54学时之间，如何在这有限的时间里，让尽可能多的学生对这门概念既抽象又逻辑性强的课程产生兴趣，在短时间内能够掌握和理解，并能够很好地运用到实践和研究上去，成为如今线性代数教学改革的重点，也是众多线性代数课程授课教师在教学中必须关注的重点所在［1，2］。

笔者通过2年时间的教学实践，结合学生在“线性代数”课上、课下的学习及反馈，调查数百名本科生，分析当前《线性代数》课在教学环境、方法、手段、效果等多方面存在的问题，提出一个以概念为中心的教学方法，包括一些相应改进策略来提高线性代数课堂教学质量。

一 线性代数教学现状

在“线性代数”教学中，学者们提出了一些普遍存在的问题［3-5］，主要集中在如下几点:课程边缘化、学时减少，笔者发现不少工科院校更重视CDIO式的工程教学而忽视了线性代数等基础课程的教学，又存在把线性代数和概率论两门课程合为一门称作工程数学的课程的情况，线性代数的学时又因此被压缩;集体授课的教学模式，由于我国高校的师生人数比普遍不高，线性代数等公共基础课大都采用大班授课制，教学效果不佳;多媒体教学效果不理想，在投影上通常是文字和公式的简单堆叠，学生注意力难以集中;考核方式单一，大多数教学仅采用期末考试的方式来考核学生掌握的情况。

笔者认为，除了这些外在的问题，教学中还存在一些与线性代数概念有关的本质难题，分别描述如下。

(一)概念多而抽象

线性代数是通过公理化来描述的第二代数学模型，从一维数学推广到高维的数学问题是一个跨越，只有对第一代数学模型本质和特性的充分描述才能支撑起这样的跨越。以笔者所在高校使用的教材--同济大学应用数学系编著的《工程数学:线性代数》为列，统计发现该书内容共170页，其中清晰标注为定义的共43条，定理52条，平均不足2页就有一条概念。在不包含“推论”的统计情况下，已经是满眼的抽象概念，在定义和定理之间穿插的又是满满的公式推导和证明，这不能不使学生感到生硬难懂、望而却步。为了“理解”这些概念，低年级的大学生习惯性的利用记忆去学习。这一行为导致的后果是95条定义定理成了一团解不开的乱麻，不必说应用这些理不清的概念去完成习题，更不用说解决工程问题。通过对调查对象每学期5次课堂测试以及5次课后作业的反馈发现，在课堂上高达大约70%的学生不能很好的区分各种概念之间的差异以及理解概念之间的联系，例如:矩阵和行列式的差别(箭头和等号)的问题，近40%的学生依然采用他们在中学所学的数学思维方式进行方程组求解。

(二)概念之间的关系复杂

线性代数课程中概念错综复杂的性质使学生在概念认知上遭遇巨大阻力。笔者总结这些概念复杂关系主要包括两类:一类是功能相关，例如行列式以及矩阵秩的计算需要行初等变换相应地把矩阵变换到行最简形和行阶梯型，而解的分析需要借助矩阵秩或者行列式的概念;另一类是因果相关，例如为了定义行列式的概念，先定义了逆序数的概念，而为了定义秩的概念，先定义了子式的概念等等。学生们常常采取死记硬背的方式来学习这些概念，这是事倍功半的做法。事实上从上述的概念关系分析可以发现它们存在很强的逻辑性，我们可以借助特定工具来理清概念间的复杂关系。

(三)传统教学过程题海大于实践，概念的理解停留在表面，推广应用能力低，概念被快速遗忘

传统数学教学里大量使用练习题，使学生短时记忆解题的技巧以及步骤，这种做法固然可以使考试成绩提高，但学生对概念的理解只停留在表面。课本或辅导书里的练习题常常是直接考察数学问题的解答过程，却忽略了工科数学教育的目的——应用。一个完整的基本应用流程应该是:(a)从生活或工程中总结问题;(b)利用数学概念对问题建立模型;(c)使用数学方法对模型进行求解;(d)分析结论、应用推广。但在我们传统的题海教学只体现在第三阶段，而忽略了其他三个阶段。要使学生掌握推广应用的能力，需要在课程教学中渗透数学建模的思想。

二 以概念为中心的教学方法及实践

(一)以概念为中心的教学方法

针对上述的与“线性代数”概念有关的本质难题，笔者建议在教学过程中尝试使用以下方法。

(1)使用专业应用以及几何、物理意义等来引出概念

概念是人类的感性认识上升为理性认识后，将事物的本质与特性进行抽象的描述。作为第二代数学模型，线性代数的概念建立在原本就已抽象的数学概念之上，更晦涩难懂。对于没有过多工程应用经验的低年级大学生通常感到难以理解。如果能使用一些学生原本具有的知识、原理去解释概念，学生更容易提起兴趣，从死记硬背模式转为理解模式。

笔者建议使用专业应用来引出概念，尤其是针对每个专业自身的应用问题。例如，笔者所教授专业为轨道交通运输，该系学生在前一学期甚至在高中学习过电路分析的知识，其中他们理解一个称为电路谐振的概念，稍加推导发现谐振频率，这个常数λ实际上就是对应问题的特征值，振荡电压电流等信号构成了特征向量，从此特征值与特征向量这两个概念对学生们来说就不再陌生可畏。

(2)使用主线来衔接概念

现行的教材常常错把行列式当作重点，实际上线性代数教育的一个重要主题是解线性方程组。这是低年级大学生能够马上理解和应用的思想，同时这也应该是工科大学数学教育应该重点培养的一个思维方式，即使用第一代数学方法对应用问题建立模型，然后使用线性代数方法解模型，这才体现了一个完整的数学应用流程。

因此笔者尝试在授课的时候经常强调解线性方程组这一目标主线，把大部分概念联系起来。例如学习矩阵求逆的目的是直接使用矩阵的乘法来解线性方程组，学习行列式的目的是判断矩阵是否可以求逆并应用克拉姆法则来解线性方程组;但是它们的使用条件比较苛刻，如何去分析判断是否可以使用这些方法呢，需要用到矩阵的秩的概念;如果方程组具有无穷解，如何去表达这些解则需要学习向量组线性表示的知识。

另外，为了实现解线性方程组这一目标，需要一个好用的工具，即行初等变换。这称为工具主线，因为行初等变换可以解决矩阵求逆、求行列式、求秩以及分析向量线性相关性等线性代数课程里需要完成的绝大部分任务。

在学生真正理解这些基本主线以后，再从基本主线进阶到向量空间、特征值与特征向量等问题就变得更加自然、容易。

(3)使用思维导图等工具来理顺概念

简单的教学实践即可表明:学生如果通过机械的学习方式获得概念知识，往往是散乱而零碎的，缺乏深层次的理解。线性代数课程中虽然概念繁多，但它们是紧密联系的，具有很强的逻辑性，如果能帮助学生理清概念间的关系，往往事半功倍。笔者建议使用思维导图一类的思维工具，如图1所示的例子采用思维导图引出了与解线性方程组有关的一些概念，例如其中一个虚线箭头线表明解的三种情况需要借助矩阵秩的概念来分析，如此这般便把一些零散的概念有机地联系起来，让学生渐渐形成一个完整的线性代数知识体系。

(4)结合专业或生活应用来加深对概念的理解

非重点大学学生多、线性代数课程学时少、学生的数学素养相对较差等特点决定了教学大纲不可能按照重点大学的课程内容来进行，因此必须对教学内容进行一定的缩减，并让学生理解和学会应用保留下来的这部分基础理论知识。这样才能提起学生的兴趣、体现应用价值并提高应用线性代数的建模能力。笔者建议结合专业或生活应用来加深对概念的理解，例如笔者所教授专业为交通运输，课堂上便多次以交通流量监测与控制、路径规划等应用为例讲解数学建模的整个流程，让学生切实体会到线性代数相关的概念给专业和生活带来的影响。

(二)以概念为中心的教学实践

笔者以深圳大学轨道交通学院2011级为例，使用同济大学应用数学系编著的《工程数学:线性代数》为教材，选择入学成绩基本相同的两个班作为对照组，对他们分别使用传统的和改进的两种不同教学方法，两个月后对已教的知识点进行课堂测试，课堂测验使用一共10道选择和计算题，分别测试初等行变换、行最简形等10个基本知识点，发现两个班掌握程度不同，具体情况如表1所示。对1班(50人)和2班(54人)分别使用传统的和改革后的教学方法，分别统计学生掌握比较项目的人数以及占全班百分比得到表1以及图2的对比结果。

表1 教学效果对比

从图2可以看出，除了第5项以及第8项相差不大以外，改革后的方法普遍比传统教学方法拥有较好的效果。其实第5项和第8项主要依靠记忆来完成，因此改革方法显现不出优势。但在第9项和第10项的对比上可以看出较大的差别，主要原因是在改革后的方法里面笔者充分强调“解线性方程组”的主线思想，使学生在课堂上提起兴趣并重视其中内容。另外，在教学过程中笔者还发现，改革教学班级的学生在课后能自主地提出一些有趣的应用，例如有学生试图使用解线性方程组的方法求解数独游戏问题，笔者也趁热打铁地讲解说明这是一大类问题的解决思路，比如医学CT的重建等问题。

三 结语

本文分别分析了线性代数课程教学中存在的与概念有关的一些本质难题:概念多而抽象;概念关系复杂;概念的理解停留在表面，被快速遗忘等。笔者提出了几个相应的应对策略:使用专业应用以及几何、物理意义等来引出概念;使用主线来衔接概念;使用思维导图等工具来理顺概念;结合专业或生活应用来加深对概念的理解。对比教学实践案例证实这一改革取得较显著的效果，可以切实提高教学质量。

［1］李尚志.从问题出发引入线性代数概念［J］.高等数学研究，2006，9(5):6-8.

［2］李尚志.线性代数教学改革漫谈［J］.教育与现代化，2004(1):30-33.

［3］王 健.中美线性代数教学方法的对比与分析［J］.吉林工程技术师范学院学报，2012，28(2):74-75.

［4］张小向.关于线性代数课程教学的一些思考［J］.中国科技论文在线，2007.

［5］杨丽娟.《线性代数》教学改革的必要性和措施［J］.吉林农业科技学院学报，2011，20(3).