初中几何探究类问题的教学研究

王东

摘要：随着新课程改革的全面推进，几何探究类问题已成为近些年来各地中考试卷中的一类重要题型。被认为是考查学生创新意识、创造能力和发展学生学力的最富有价值的数学问题。同时这类问题也成教师教学过程中的一个难题。个人认为，在几何探究类问题的教学过程中，教师不仅要教会学生解决问题的方法，更要培养学生提出问题、分析问题、解决问题的各项能力和一些具有元认知性质的解题策略。

关键词：几何教学；探究类问题；反思

几何教学是中学数学课程中不可或缺的重要内容。我国义务教育新课程标准强调：要在数学活动中学习几何，注重探索图形性质的过程。实践证明，要全面提高中学几何教学的质量，关键取决于教师的业务素质与教学水平。

在几何教学中，教师往往只重视思路的分析、技巧的揭示，而忽视“为什么会有这个思路”，忽视“技巧背后有没有某种必然性”的总结提升。这就使得学生在经历了题海、题型战术后，仍然惧怕几何问题。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要，因为提出一个问题更需要创造性的想象力”。教师不仅要教会学生解决问题的方法，更要培养学生提出问题、分析问题、解决问题的各项能力和一些具有元认知性质的解题策略。

一、实验操作，探究规律

几何探究类问题教学设计的思想是“以学生的学习为主体，在操作实验中发现问题和探究规律，并进一步深化应用”。新的课程标准修订稿提倡：在日常教学当中让学生动手操作、鼓励发现、鼓励合作探究，以及在此基础上完成对所学内容的归纳，最后再通过演绎的方式去证明的教学方式。

例如，在讲三角形三边关系时，先让同学们把事先准备的三条长短不一的木棒摆一摆，看是否能摆成三角形。过了一会后，发现有几个同学怎样摆也摆不成三角形，于是我把这几个同学请到讲台前又演示了一遍，提出了如下问题：为什么摆不成三角形？怎样的三条木棒能够摆成三角形？学生纷纷拿起自己的木棒再进行研究……在操作中发现问题，学生探究的欲望被瞬间唤醒，学习热情也瞬间高涨，每个同学积极投入到课堂学习中，“三角形的任意两边之和大于第三边”这个自己探索得出的性质也在每个同学的脑海里根深蒂固。

实验探究向学生提供了自主探索的机会，考查了他们理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法的水平，为他们解决数学问题提供了丰富的思维空间。

二、解读铺垫，寻找方向

几何探究类问题往往通过对一些简单问题的解决或者知识和方法的介绍，让答题者在阅读或解题过程中获取新的知识、方法，或领会某种新的数学思想。而这些思想方法正是进一步探究所必须的。因此，在解几何探究类问题时研读铺垫材料，透过材料的表象，看出材料所隐藏的思想方法，是解决这一类问题的关键。

例题 已知：等边的边长为。

探究（1）如图1，过等边的顶点依次作的垂线围成，求证：是等边三角形且；

探究（2）在等边内取一点O，过点O分别作，垂足分别为点。

①如图2，若点O是的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1.；结论2.；

②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1、2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。

本例中，探究（1）就是最基本的一个铺垫，它的证明并没有多大难度，在教学过程中发现大部分的学生都能解答探究（1）。但是，在探究（2）②中第二个结论的分析过程中能用上探究（1）方法的人极少。究其原因主要是大部分学生没有仔细品味探究（1）的作用。对于本题的构造过程无动于衷，体会不到这里实际上是为第二问的解决隐藏了一个方法，只是就题论题地解答了这个问题，导致在探究（2）②中第二个结论时无从下手。

简析：（1）如图1，为等边三角形，，，

，，

同理：，为等边三角形。

在中，，

在中，，

。

（2）结论1成立。证明：如图5，连接

由作垂足为H，则

。

（2）结论2成立。证明：如图6，过顶点依次作边的垂线围成。

由（1）得为等边三角形且，

过点O分别作，，，

由结论1得： ，

又，

四边形为矩形，

，同理：，

。

从以上的分析中，不难发现，解读铺垫材料的意义重大，因为探究类问题的解题策略与方法往往就隐藏在题目的背景材料之中。在教学过程中要引起足够的重视，可以多选择一些问题与学生一起剖析、教会学生解读铺垫材料的方法。

三、简化图形，突出重围

几何教学离不开几何图形，几何问题中所涉及的几何图形有基本图形和复杂图形，而这些复杂图形又都是由一些基本图形复合而成。不管遇到什么样复杂的几何问题，只要能够善于发现基本图形，并熟练掌握这些基本图形的构成、形式及其性质，这样就能使模糊问题清晰化、复杂问题简单化。

例题 取一副三角板按图7①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一个大小为的角（得到，如图7②所示。试问：

（1）当为多少度时，能使得图②中∥？

（2）当旋转至图7③位置，此时又为多少度？图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比。

（3）连结BD，当时，探寻值的大小变化情况，并给出你的证明。

图7

第三小题简析：（3）如图连结，擦掉线段可以发现

构成一个五角星。因为五角星的五个角的和为，，所以的值的大小没有变化，总是。

利用基本图形及其性质能比较有效地解决一些复杂问题，采用复杂图形基本化的策略，一般都会取得事半功倍的效果。

四、另辟蹊径，殊途同归

什么是几何？伟大的数学家克莱因曾指出：“考虑空间的一个变换群，研究它的一切不变性质或不变量就构成一种几何”。比如，一个形状大小任意变化的四边形，顺次联结各边的中点所得的四边形始终是平行四边形。比如，一个三角形，它的一条底边长度不变，这条底边的对角顶点在这条底边的平行线上滑动，而三角形的面积始终不变。也就是说几何的精髓是在不断变化的几何图形中，研究不变的规律。

例题：在中，交的延长线于点。一等腰直角三角尺按如图8所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为，一条直角边与边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点。

（1）在图8中请你通过观察、测量与的长度，猜想并写出与满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿方向平移到图9所示的位置时，一条直角边仍与边在同一直线上，另一条直角边交边于点，过点作于点。此时请你通过观察、测量的长度，猜想并写出之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿方向继续平移到图10所示的位置（点在线段上，且点与点不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

简析：此题以等腰直角三角尺与等腰的相对运动为背景，旨在探究线段之间的数量关系，问题（1）是在图8中，探究两三角形在特殊位置下两线段与满足的数量关系，通过≌容易解决。问题（2）、问题（3）是从通过三角板的移动过渡到一般情况下的。图9、图10中猜想探究线段、与之间满足的数量关系：，这一结论的证明给学生提供了更为广阔的思维空间，从不同角度来分析，可以得出不同证法。如采用“截长补短法”构造全等三角形：

证明：过点作于点，于点，，四边形为矩形，∥。。，。又，，≌，。，即。

本题同时也隐含着一个基本性质：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上高的长度。因此本题还可以运用该性质解题。

证明：连结，，又于点，于点，，， 。

本题是一道利用三角板为背景设计的题目，求解时一定要了解三角板的特性，使求解难度降低，通过求解我们还可以看出，三角板通过适当的操作能变幻出许多精彩的中考数学试题，近两年的中考中就频频出现此类问题。

五、解后反思，自主提升

教会学生解后反思、实现自主提升是提高探究类问题解题能力的最有效的途径。在教学过程中，教师不仅要强调思维的重要性与必要性，还要教会学生思维的方法，培养学生的思维习惯。从某种意义上说习惯有时比方法更重要。解题的过程是一个学习的过程，孔子曰“学而不思则惘”。我们许多学生正是因为缺乏必要的反思，经常迷惘，题目做了一道又一道，题型解了一类又一类，可到头来还是一无所获，碰到新题还是一头雾水。

在课堂教学过程中，教师首先要让学生有反思的时间，教师在课堂中留出几分钟来让学生进行自主的感悟提升；其次是要教会学生反思的方法，反思不是解题过程的重复，不仅仅是订正错题，也不仅仅是用红笔写出错误的理由，反思是一个系统工程，一道题解完后，首先要让学生反思的是思路的产生和确定过程，是突然的灵光一现，还是由己知条件层层推出，还是历曲折之后的柳暗花明。作为答题者，在诸多合理性与必然性中，你有没有想到？为什么会想到这一种解法？在对这些问题的反思过程中，学生就会发现自己在知识、方法和策略等方面的不足，从而找到努力的方向。

总之，探究类问题的教学是数学教学中的一个热点，也是一个难点，对其教学策略的探讨也应是一个逐渐深入的过程。没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时应留出足够的时间来让学生进行反思，从而使学生尽快形成一种解题思路。

参考文献：

[1]徐小建.几何探究类问题教学例谈[J].中学数学教学参考，2010（6）.

[2]朱宁.浅谈初中几何教学[J].教育教学论坛，2011（16）.

[3]曹一鸣.数学课堂教学实证系列研究[M].南宁：广西教育出版社，2009.