安全抛物线方程的推导与应用

郑金

若在竖直平面内从某一固定点以相同的初速率 、不同的抛射角发射质点，则各运动轨迹组成抛物线族，如果有一条光滑曲线处处与这些抛物线相切，这条曲线就是此抛物线族的包络线，也是一条抛物线。抛物线族中所有的抛物线都不会越出包络线所界定的边界线，也就是说不论怎样调整抛射角，都不能击中包络线以外的目标，因此把包络线称为安全抛物线。

1 方程推导

1.1 问题。在夏季从地面向云层发射防雹炮弹，初速度为v0，若忽略空气阻力和重力加速度变化的影响，求炮弹所能达到区域的边界方程。

1.2 分析。以抛出点为坐标原点，水平分速度方向为x轴方向，竖直向上为y轴方向，建立直角坐标系，沿坐标轴方向分解斜上抛运动，其位移分别为x=v0cosθ·t

可变形为关于tanθ的一元二次方程，

即（gx2）tan2θ-（2v20）tanθ+（2v20+gx2）=0。

这是所有符合条件的抛物线方程，可分两类，一类不跟包络线相切，其上各点都对应两个θ ；另一类跟包络线相切，由于切点不可能是两条抛物线的交点，因此切点只对应一条抛物线，即对应唯一一个 θ。

同时，方程还表示所有抛物线上各点的集合，这些点分两类，一类在包络线之内，各点对应两个不同的θ；另一类是边界点，在包络线上，是切点的集合，所以安全抛物线上各点分别对应唯一的抛射角θ。

关于tanθ的一元二次方程应该有实数解。而且只要满足θ取单值的条件，对应的各点就在包络线上，仅当判别式为零时，二次方程有单根，各点P（x，y）为切点，组成一条包络线。可得到包

对于包络线方程，当抛射速度确定时，若x确定，则y取最大值；若y确定，则x取最大值。而当某点确定時，则抛射速度取最小值。

2 方程应用

例1 在倾斜角为θ的斜面底端向斜面上抛出物体，初速度为v0，当抛射角a为多少时，落点最远？其值为多少？

解析 以抛出点为坐标原点，