列一元一次不等式组巧解“分配”问题

佟庆玲

在一元一次不等式组解应用题的教学过程中，时常发现部分学生对于一些实际问题能列出不等式组，但解不出正确的结果，还有一些学生对列不等式组解应用题感到困难，不知道该如何下手，现以鲁教版七年级下册113页的两题为例进行分析比较：

例1一群女学生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，则有一间房住不满.

（1）设有x间宿舍，请写出x应满足的不等式组；

（2）可能有多少间宿舍，多少名女生？

方法一：教科书解法

分析题目中“每间住4人，剩19人无房住”这句话给出总人数是（4x+19）人.“每间住6人，则有一间房住不满”这说明最后一间房有人住但没有住满，有空的床位，除去最后一间房住的人数，其余房间的总人数为6（x-1）人，如果每间房都按住满6人分配就多于总人数.可列为：6（x-1）<（4x+19）<6x.

解：（1）根据题意，x满足的不等式

6x>4x+19

6（x-1）<4x+19.

（2）解（1）中的不等式组，得1912

因为x为整数，所以x=10，11，12.

因此，可以有10间宿舍、59名女生，或有11间宿舍、63名女生，或有12间宿舍、67名女生.

方法二：按照“最后一间房分配的人数”列不等式组

分析总人数仍为（4x+19）人，“有一间房住不满”可理解为最后一间的人数“不空也不满”，即为“总人数减去除最后一间不满的人数外其他人数（4x+19）-6（x-1）.

可列为：0<（4x+19）-6（x-1）<6.

解：（1）根据题意，x满足的不等式

（4x+19）-6（x-1）>0，

（4x+19）-6（x-1）<6.

（2）解（1）中的不等式组，得1912

因为x为整数，所以x=10，11，12.

以上两种方法虽然列法不同，但结果是相同的，显然这两种方法都是正确的，那么是否所有的“不空也不满”的分配题目都可以用以上的两种方法列呢？下面我用一个例子来验证一下：

例2一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件.求小朋友的人数与玩具的件数.（学生有以下列法）

分析根据上例我们很容易设小朋友为x人，玩具总数为（3x+4）件，根据例1中的方法一可例为：

方法一：套用教科书解法

解设有x个小朋友，则玩具有（3x+4）件.

4x>3x+4，

4（x-1）<3x+4.解不等式组，得4

因为x为整数，所以x=5，6，7.因此，可能有5个小朋友、19个玩具，或有6个小朋友、22个玩具，或有7个小朋友、25个玩具.

方法二：按照“最后一个小朋友分到的玩具数”列不等式组

分析总人数仍为（3x+4）人，题目中隐含的“不足3件”是指大于零，又小于3，也就是“最后一个小朋友得到的玩具不足3件”可理解为最后一个小朋友分到的玩具数，即为“总玩具数减去除最后一个小朋友的玩具数外其他人的玩具数为（3x+4）-4（x-1）.可列为：0<（3x+4）-4（x-1）<3或1<（3x+4）-4（x-1）<3.

解：设有x个小朋友，则玩具有（3x+4）件.

（3x+4）-4（x-1）>0，

（3x+4）-4（x-1）<3.

解不等式组，得5

因为x为整数，所以x=6，7.因此，可能有6个小朋友、22个玩具，或有7个小朋友、25个玩具.

例2中不少学生用以上两种列法中的一种，却解出不同的取值范围，4

因此，在今后遇到此类“分配”问题除仔细审题外，应该用方法二解决最好.方法二是研究“最后一个单位所分配到的物品数量”等于“物品的总数量减去除去最后一个不满单位分配到的物品数外的其他物品的总数量”，只要理解了最后一个单位所分配到的物品个数，列出一元一次不等式组进行求解，这类实际问题也就迎刃而解了.