平行透视中的线段等分

王伟民

同一物体，离人越远，对人眼所张的视角会越小，人看它时，物体在人眼视网膜上所成的像就越小，所以，我们看物体时会有“近大远小”的感觉.美术作图中，为了表现人看物体时的这种立体感，通常用平行透视或成角透视的方法来进行绘图.

图1图2我们以人看长方体楼房为例说一下平行透视的画图原理及作图方法.如图1，当长方体楼房六个面中相对的某两个面与画板平行时，长方体的12条棱将有8条与画板平行，其余的4条与画板垂直，在画板上作图时，与画板平行的线，人的感觉仍是平行的，所以仍画成平行线，线再长也不会相交.实际上，这不单是感觉，我们可以进行逻辑论证的，如图2，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，我们将面A1B1C1D1视为画板，设P为人眼的位置（点P是棱DD1延长线上的一点，选择人眼在其它位置也可，证明过程与此类似），人通过画板A1B1C1D1看与画板平行的两直线AB和CD，这两条直线相对于人眼在画板上的投影分别为GE和D1F，利用相似知识易证EF∥GD1，且EF=G D1，故有GE∥D1F，这就是说，与画板平行的直线，在画板上相对于人眼的投影仍是平行线；而垂直于画面并向画面内部延伸的直线，虽然实际上是平行线，但由于离画板越远，两平行线间的“视距离”越小，向里延伸到无限远时，平行线间的“视距离”将“远小”至零，但直线看起来仍然是直线，不会因为透视的关系而变成曲线（这一点也是可以证明的）.所以，为了表现出立体效果，垂直于画板的所有平行线都画成相交于正对着人眼水平无穷远处的同一点（平行透视作图中，该点称之为主点）.

由于透视的原因，向画面内部延伸的排成一排，间距相等的等大的物体，不但会给人一种“近大远小”的感觉，而且越向画面的内部延伸，间距看起来也不再相等，而是变得越来越小.

例1如图3，美术课上，老师用平行透视的方法画出一幅图画（指图3中的实线），内容是底端排成一条直线，向画面内部延伸，间距相同、高度相等的电线杆A1B1、A2B2、A3B3、…，其中第二根A2B2漏画，请用尺规作图法在图中将A2B2补画出来.

图3分析 图3中，如果取A1A3的中点，再过该点作其他电线杆平行线的话，画出的电线杆既不符合透视原理，同时看起来与相邻的两电线杆之间也没有等距离的感觉.由于四边形A1A3B3B1是矩形，而我们要作的未知电线杆A2B2将矩形A1A3B3B1分成两个相等的小矩形，所以A2B2一定过矩形A1A3B3B1对角线的交点.

作法（如图，注：作法用虚线表示，实线为原图，下同.）：

1.连接A1B3、A3B1交于点O；

2.过O作A2B2∥A1B1，分别交A1A3于A2，B1B3于B2；则A2B2即为所求的电线杆位置.

在平行透视中，我们既然可以用这种方法二等分向画面内部延伸的已知线段（线段的方向可以是任意的，不要求线段垂直于画面，被等分的线段可以和画面成任意角度，甚至与画面相平行），那么，推广一下，我们也可以用该方法四等分、八等分……画面中的任一线段.比如，在某两根电线杆之间再增添三根，将原有地面上两电线杆之间的线段四等分，我们可以上面的作图方法，先将线段二等分，再将二等分后的每段再二等分即可.那么，如果我们欲将透视画面中的某条线段分成任意等份，又该如何操作呢？

例2图4为平行透视中的画面，A1B1和A4B4是向画面内部延伸排列的两根等长的电线杆，现欲在两电线杆之间再插入两根同样长新的电线杆A2B2及A3B3，使得A2B2和A3B3将原有的两电线杆间的距离三等分.

解析仍用例1的解题思路是行不通的，我们可以利用相似知识来进行作图（如图4）

图41.延长A4B4至C，使B4C=2 A4B4；

2.连接A1C，交B1B4于B2；

3.过B2作A2B2∥A1B1，交A1A4于A2；

4.连接A2B4、A4B2交于点O；

5.过O作A3B3∥A1B1，分别交A1A4于A3，B1B4于B3；

则A2B2、A3B3即为所求的电线杆位置.

利用相似三角形的相关性质，易证B2、B3是线段B1B4的三等分点（具体证明过程略.读者注意，该图形是向画面内部延伸的立体图形，不要把它看作平面图形）.

采用例题2的解题思路，我们可以将立体图形（含平行透视图及成角透视图）中的任意线段进行任意等分，当然也包含将已知线段二等分的情形.我们不禁要问，就二等分一条透视图中的某条线段来说，采用例1及例2这两种不同的方法，作出的图形是否是同一条线段呢？答案是肯定的，我们不妨对此加以证明.

图5如图5，在图1的基础上，延长A3B3至C，使B3C= A3B3连接A1C，交B1B3于B2；连接A1B3、A3B1，交于O，我们只要设法证明OB2∥A3B3即可.

因为B3C= A3B3，A1B1=A3B3，所以A1B1= B3C.因为A1B1∥B3C，所以B1B2= B2B3.因为OB1= OA3，所以OB2∥A3B3.

这就是说，就例1而言，不论是采用例1的解法，还是例2的解法，所作出的线段——欲确定的电线杆A2B2的位置都是唯一确定的.