三角形的加比定理及其应用

三角形的加比定理是三角形中有关线段比的一个重要定理.本文介绍这个定理及简单应用，以起到开阔视野、锤炼思维和抛砖引玉之作用.

三角形的加比定理[1]设P为△ABC内任一点，射线AP、BP、CP分别交边BC、CA、AB于D、E、F，则AP1PD=AF1FB+AE1EC.

图1图2证明1如图1，AP1PD=S△APB+S△APC1S△BPC=S△APC1S△BPC+S△APB1S△BPC=AF1FB+AE1EC.

证明2如图2，过点A作MN∥BC，分别交CF、BE的延长线于点M、N.

因为MN∥BC，

所以AF1FB+AE1EC=MA1BC+AN1BC=MN1BC，

AP1PD=MA1DC=AN1BD=MA+AN1DC+BD=MN1BC.

所以AP1PD=AF1FB+AE1EC.

例1如图3，△ABC为等腰三角形，AB=AC.DE为△ABC的中位线，点P为DE上的动点，BP的延长线交AC于点N，CP的延长线交AB于点M.试探求：11BM+11CN是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

解连接AP并延长交BC于点F.因为DE为△ABC的中位线，所以AD=DB，DE∥BC.所以AP=PF.由三角形的加比定理得AM1BM+AN1CN=AP1PF=1.所以AB-BM1BM+AC-CN1CN=1.所以AB1BM-1+AB1CN-1=1.所以11BM+11CN=31AB.

显然，当△ABC给定时，31AB应是一个定值.故11BM+11CN是定值，定值为31AB.

图3图4例2 在△ABC中，AD，BE相交于点F，若AE1EC=m，CD1DB=n，则S△ABF1S△ABC=m1mn+m+1.

证明如图4，连接CF并延长交AB于点P.

由三角形的加比定理得CF1FP=CE1EA+CD1DB=11m+n=mn+11m.所以S△ABF1S△ABC=FP1CP=m1mn+m+1.

图5例3（2000年上海“弘晟杯”初中数学竞赛）如图5，正△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且AN=BM.BN与CM交于O点.若S△ABC=7，S△OBC=2，求BM1BA之值.

解连接AO并延长交BC于点L.

设正三角形的边长为a，设BM=x.则AN=x，AM=NC=a-x.

由AL1OL=S△ABC1S△OBC=712，知AO1OL=512.

由三角形的加比定理得AO1OL=a-x1x+x1a-x.

所以a-x1x+x1a-x=512.

令y=a-x1x，则y+11y=2+112.所以y=2或112.

即a-x1x=2或112.所以x1a=113或213.

例4 （2012年全国初中数学竞赛）如图6，正方形ABCD的边长为215，E、F分别是边AB、BC的中点，AF与DE、DB分别交于点M、N，则△DMN的面积是.

解连接BM并延长交AD于点G.

易知△BNF∽△DNA，△BMF∽△GMA.

由三角形的加比定理得BM1MG=BE1EA+BN1ND=1+BF1AD=1+112=312.

所以S△ABD1S△AMD=BG1MG=512.所以S△AMD=215S△ABD=215×112×2152=12.因为F为正方形ABCD的边BC的中点，所以AD=2BF.又BF1AG=BM1MG=312，所以AD=3AG.所以AG1GD=112.

再由三角形的加比定理得AM1MN=AE1EB+AG1GD=1+112=312.所以S△AMD1S△DMN=312.所以S△DMN=213×12=8.

图6图7例5如图7，△ABC的中线AM、高BH和角平分线CD相交于一点，求△ABC三边a，b，c的关系.

解由角平分线性质定理得：

BD1DA=a1b，BO1OH=a1HC.

由三角形的加比定理得BO1OH=BD1DA+BM1MC=a1b+1.

所以a1HC=a1b+1，故HC=ab1a+b.因为a2-HC2=c2-（b-HC）2，所以HC=a2+b2-c212b.所以a2+b2-c212b=ab1a+b.去分母，整理得a3+b3+a2b-ab2-bc2-ac2=0.

参考文献

[1]沈文选，杨清桃.几何瑰宝·平面几何500名题暨1000条定理（上） [M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，20107：450.

作者简介邓文忠，男，1974年出生，中学一级教师，第四届县级名师，教学之余喜欢研究数学解题、中考和竞赛，已发表文章40余篇.