用“四抓法”巧解分式应用题

俗话说：“平淡之处见惊奇”，其实我们也可以“平凡之题解精彩.”在解分式方程应用题时，如果我们能仔细分析，深入挖掘其中的数量关系，注意抓住问题的本质，往往可以化难为易、化繁为简，收到事半功倍之效.

1抓住问题的本质

例1（2013年四川遂宁）2013年4月20日，我省雅安市芦山县发生了里氏70级强烈地震.某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务.在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的15倍，于是提前4天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？

本题若按常规方法，可设该厂原来每天生产x顶帐篷，则提高效率后每天生产15x顶帐篷，原计划需要15001x天完成任务，实际所用天数为（3001x+1500-30011.5x）天.由题意知，实际所用天数比原计划少4天，据此列方程得15001x-（3001x+1500-30011.5x）=4.解得x=100.经检验，x=100是原方程的解.所以原来每天加工100顶帐篷.

经过深入分析我们发现，该厂之所以能够提前4天完成任务，关键原因在于提高了工作效率.实际加工帐篷可分两部分：按原计划完成的300顶（与提前完成任务没有关系）和提高工作效率后完成的剩余1200顶.加工这剩余的1200顶帐篷是导致提前完成任务的本质原因.因此若设该厂原来每天生产x顶帐篷，可列方程12001x-120011.5x=4.显然这样列方程比较简捷，且抓住了问题的本质.

2抓住问题中的数量关系

例2（2013年广西钦州）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成.问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天.则可列方程为（ ）

A.10130+81x=1B.10+8+x=30

C.10130+8（1130+11x）=1D.（1-10130）+x=8

若设乙队单独完成这项工程需要x天，甲队先做10天完成的工作量为10130，甲、乙两队合作8天完成的工作量为8（1130+11x），根据甲、乙写成的工作总量为1，得10130+8（1130+11x）=1.答案选C.

上述方法是解答本题的一般方法.根据题中的数量关系，甲队单独完成这项工程需要30天，实际施工时，甲先后共做18天，乙做8天，说明甲做12天的工作量与乙做8天的工作量相等，从而甲、乙两队的工作效率之比为8∶12=2∶3.既然甲队单独完成这项工程需要30天，显然乙队单独完成这项工程需要20天.这样解答显得简捷明了.

3抓住问题中的正比关系

例3（2013年湖北十堰）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同.已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字.问：甲、乙两人每分钟各打多少字？

本题若按常规方法，可设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，则甲打一篇1000字的文章所用时间为10001x+5分钟，乙打一篇900字的文章所用时间为9001x分钟.根据两人所用的时间相同，得10001x+5=9001x.解得x=45.经检验，x=45是原方程的解.所以甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字.

注意到甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同，且打字速度与时间与正比，据此可知甲、乙两人打字速度之比为1000∶900=10∶9.若设甲每分钟打字10k个，则乙每分钟打字9k个，根据“甲每分钟比乙每分钟多打5个字”列方程得10k-9k=5.所以k=5.所以甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字.显然这种解法非常简捷，甚至可以口算.

4抓住问题中的反比关系

例4（2013年山东菏泽）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的15倍.

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.

本题若按常规方法，可设甲工厂每天加工x件新产品，则乙工厂每天加工15x件新产品，甲工厂单独加工完成这批产品用12001x天，乙工厂单独加工完成这批产品用120011.5x天，根据“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，得12001x-120011.5x=10.解得x=40.经检验，x=40是原方程的解.甲工厂每天加工40件新产品，乙工厂每天加工60件新产品.

注意到乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的15倍，而加工产品的速度与时间成反比，据此可知甲、乙两个工厂加工产品的天数之比为15∶1=3∶2.若设甲工厂加工完这批产品所用天数为3k天，则乙工厂加工完这批产品所用天数为2k天，根据“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，得3k-2k=10.所以k=10.所以甲、乙两个工厂单独加工完成这批产品分别用30天、20天，每天分别能加工1200130=40件，1200120=60件新产品.显然这种解法非常简捷，仍然可以口算.

作者简介余旭红，女，1975年11月生，中学高级教师，绍兴县初中数学学科带头人.