初中数学实验教学设计的研究与实践

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在阐释学习内容时指出，要让学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想、给出证明或举出反例”，且反复强调要让学生经历探索过程，积累基本活动经验，而承载探索过程和获得数学经验的最好载体，莫过于数学实验.

1数学实验内涵及其设计要求

1.1数学实验概念及特征

数学实验，是指为获得某种数学理论，或检验某个数学猜想，或解决某类数学问题，运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动。它是通过动手动脑“做数学”的一种数学学习活动，是学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动.

数学实验是数学学习的一种方式，这种学习方式，不是让学生被动地接受教科书上或教师讲授的现成结论，而是让学生从自己已有的“数学经验”出发，通过动手、动脑去获得新的数学经验，逐步构建并完善、发展自己的数学认知结构.

数学实验主要是使教学表现形式形象化、多样化、视角化，应既有利于充分揭示数学概念、定理的形成与发展、数学思维的过程和本质，又有利于数学思想的渗透、数学方法的选择、数学新问题的形成.因此，数学实验具有以下四个显著的基本特征：

（1）实证性，即能提供确定的数学知识，结论明确，（理论上）可以验证；

（2）深刻性，能在实践的基础上进行抽象思维，进而揭示数学规律或问题解决的本质；

（3）探索性，数学实验追求的不仅仅是解决问题的方法与途径的选择，更重要的是解决问题过程中的数学精神；

（4）创造性，在技术中介的参与下扩大主体的认识能力，进行“发现”或“再发现” .

1.2数学实验的基本类型

数学实验主要以下三种基本类型：

（1）操作性实验——建立在实物直观上的数学理解

操作实验是指通过对一些工具、模型的动手操作，创设问题情境，学生自主探索数学知识，检验数学结论（或假设）的学习活动.

（2）思维性实验——建立在实物模拟下的数学思考

思维性数学实验是指通过对数学对象的不同变化形态的展示，创设问题情境，引导学生探究数学知识，检验数学结论（或假设）的数学活动.

（3）计算机模拟实验——建立在信息技术平台上的数学探究

计算机模拟性实验主要是借助于计算机（包括图形计算器）的快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，可以引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的学习活动.

2初中数学实验教学设计

2.1初中数学实验教学及设计要求

初中数学实验教学是指在初中阶段，根据国家课程标准、学生认知水平及教学思想发展的脉络，创设恰当的问题情境，利用合理的实验手段，引导学生从直观现象到发现、猜想，然后给出验证及理论证明，使学生亲历数学建构，逐步掌握认识事物，发现真理的方法，并以此来培养学生的创造能力，提高学生的数学素养的数学教学形式.

各种类型的数学实验教学都应有一些基本要求，这些要求包括：

（1）数学实验设计应能清晰地表达所研究的数学问题，这种表达需符合数学的有关约定，有助于探究、发现研究对象之间的相互关系.

（2）数学实验设计应能迅速地提供大量有关数学概念和原理的正例，以帮助学生形成概念和掌握原理.

（3）数学实验设计应根据实验课题内容，在众多的数学软件中选择一个合适的数学软件平台.一般要求数学实验条件或原始参数可（在一定范围内）任意设定而实验过程的中间数据和最终数据可以测量，在实验的动态过程中，测量数据的变化能即时得到反应，即具有实时反馈或同步互动的功能.

（4）数学实验过程中应可以随时添加某些可操控的数学对象，以帮助问题的探究.

（5）数学实验应能由学生直接操作，而不是“眼看手不动”形式.

2.21操作性实验（建立在实物直观上的数学理解）的实验教学设计

操作性实验是让学生通过实验检测，验证结论或数学猜想的正确性的实验.这类数学实验作为一种常见的认识方式，把演绎与归纳结合于一身.实验设计者根据验证问题所需的实验工具，从激发学生学习兴趣和培养学生求真求实的理性精神出发，合理选择实验工具，使实验效果最优化.很多数学问题都可以采用这种实验方法来验证判断和猜测.这种实验并不要求学生主体认知作用的强烈显现，实验的结果也不会因为数学问题或模型的不同或实验物质手段的差异而不同.学生的主体认知作用体现在沿着既定的实验设定，在对自己思维和行为进行自我监控的情况下，以验证的方式考察成果的合理性.

操作性数学实验的设计流程如图1所示：

图1该类数学实验教学，可以帮助学生通过实验检测、验证已得结论或猜想的正确性，从而在实物直观的基础上获得数学的理解.其教学实施的一般步骤为：提出问题——动手操作——观察分析——验证结论.

案例1：验证三角形的内角和的设计

首先将一支铅笔的笔尖指向C→A方向，铅笔与AC边平行，如图2所示；

第1次操作：以铅笔的中点为旋转中心，将铅笔顺时针旋转∠A后，笔尖指向B→A方向，铅笔与BA平行；

第2次操作：以铅笔的中点为旋转中心，将铅笔顺时针旋转∠B后，笔尖指向B→C方向，铅笔与BC边平行；

第3次操作：以铅笔的中点为旋转中心，将铅笔顺时针旋转∠C后，笔尖指向A→C方向，铅笔与AC边平行.

经过3次旋转后，笔尖正好掉转一个方向，这说明∠A+∠B+∠C=180°.

图2案例2：验证三角形的外角和的设计

首先在地上画一个大的三角形；

第1次实验：让某学生从A点出发，面向B点行走，至B点处逆时针转身，使自己面向C点.观察自己旋转的角是否是∠B的外角？

第2次实验：继续从B点出发，面向C点行走，至C点处逆时针转身，使自己面向A点.观察自己旋转的角是否是∠C的外角？

第3次实验：继续从C点出发，面向A点行走，至A点处逆时针转身，使自己面向B点.观察自己旋转的角是否是∠A的外角？

经过3次行走和转身，发现自己面向的方向与行走前的方向一致，这说明三角形的三个外角的和为360°.

设计意图两个案例均经过三次简单的实验操作，引发学生观察分析：铅笔每次转过的是什么样的角？某学生每次转过的又是什么样的角？最终的方向与伊始的方向的比较表明了什么？抽象成数学问题则是验证了哪个结论？这样的教学设计易激发学生的兴趣，有效地培养他们数学地发现和思考，有助于数学素养的提升.

2.22思维性实验（建立在实物模拟下的数学思考）的实验教学设计

思维性实验是指在人为干预控制实验对象的条件下，进行观察、测算、归纳，并从中发现数学事实，以深刻理解数学事实的实验.该类数学实验借助直观来帮助学生进行操作和思维，从中发现数学事实，进而揭示数学规律或问题解决的本质.所以这种实验进一步深化了学生认知主体和认知客体之间的联系，使数学的价值经过事实的抽象后得以升华.操作理解性实验一般选取基本的数学概念和存在着某种紧密关联的众多的数学事实为素材，经学生的辨别、抽象后得到其共同属性，从而强化了对象的特征.

思维性数学实验的设计流程如图3所示：

图3其教学实施的一般步骤为：问题情境——建立模型——操作思考——检验结论——推广一般.

案例3：探索角与角之间的数量关系

（1）给你一张三角形纸片（事先设定好三个内角分别为50°、60°和70°），请你任选一个角，按照图4所示的方式折叠（使被折角的顶点落在三角形的内部），产生了∠1和∠2，再度量这两个角和所折角的度数，并计算∠1+∠2.操作后与同伴交流结果，你有什么发现？能用所学的数学知识解释吗？

（2）如果将上述的三角形纸片按照图5所示的方式折叠，产生六个角，这六个的和是多少？你是如何得到的这个结果的？

（3）取一张四边形纸片，按照如图6所示的方式折叠，产生八个角，这八个角的和是多少？你是如何得到这个结果的？

思考：如果是一张一百边形的纸片，进行类似地折叠，将会产生200个角，那么这200个角的和会是多少？说说你的想法.

图4图5图6图7设计意图实验活动（1）通过学生的操作和交流，发现∠1+∠2等于被折角的2倍，进而引发数学思考，尝试运用已有的知识（途径一：由邻补角、三角形的内角和直接计算；途径二：连接被折角的前后位置的两个顶点，运用外角等于两个不相邻的内角和计算）解决，实现由合情推理到演绎推理的过渡.实验活动（2）、实验活动（3）既可以直接度量操作可得结果，也可运用实验活动（1）的结论计算得到结果.当然选择的不同，彰显了思维层次上的差异.实验活动（3）的思考，则是将提升了思维的深度和力度，因为寻求测量操作已行不通，只能通过数学缜密的说理和计算来获得结果，从而揭示了这类题组的数学本质（即：折叠产生的所有角的和为所在多边形内角和的2倍）.故数学活动是载体，经历操作、发现和思考，渗透的是数学思想，提升的是思维品质.

如有可能，还可以出示图7，让学生继续探究∠1+∠2与等于被折的两个角存在着某种数量关系吗？甚至继续探究图4中的顶点折至三角形的外部时∠1、∠2与被折角存在着某种数量关系.

2.23计算机模拟实验（建立在信息技术平台上的数学探究）实验教学设计

计算机模拟实验教学是指借助于计算机的快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，引导学生自主探索数学知识、检验数学结论（或假设）的数学活动.计算机多媒体技术能为教学活动提供并展示各种与教学内容相适应的情境，为抽象的数学思维提供了直观模型，为学生的学习和发展提供了丰富多彩的学习情境和有力的学习工具.

案例4：探索圆心角与圆周角角之间的数量关系

先让学生自己利用《几何画板》画出弧AB所对的圆周角∠ACB、圆心角∠AOB，然后度量出它们的度数，提问这两个角度在数量上有什么的关系？这个关系是特殊的吗？偶然的吗（如图8）？让学生拖动点C，改变点C的位置，提问∠ACB、∠AOB度数变化了吗？数量关系变化了吗（如图9）.再改变弧AB的大小，结论仍然成立吗？

图8图9设计意图通过提问经过设计的一连串的问题，把学生带入到一个非常有趣的富有挑战性的问题情境中去.该实验有效地利用了几何画板的模拟和自动度量功能，激发学生的好奇心和强烈的求知欲，让他们积极投入到探索证明这个结论的方法之中.

案例5：探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像性质

图10如图10，教师事先做好二次函数曲线族y=ax2+bx+c的图象。

（1）调整a 的大小，观察图像的变化，并写一段对照结果的评论；

（2）调整b 的大小，观察图像的变化，并写一段对照结果的评论；

（3）调整c 的大小，观察图像的变化，并写一段对照结果的评论；

（4）试用你的结论评论下列函数图像：

①y=2x2+3x+1②y=-2x2+3x+1

③y=2x2-3x+1④y=2x2+3x-1

⑤ y=-2x2-3x+1⑥y=2x2-3x-1

⑦y=-2x2+3x-1 ⑧y=-2x2-3x-1

设计意图：学生可依次调整a、b、c的大小，观察图像的开口大小、开口方向、对称轴的位置、图像与y轴交点位置的变化，总结二次函数图像的性质.由《几何画板》提供的环境，可以使得教师从大量的解释、说明中解脱出来，引导学生把注意力集中在过程上及应予以突出的重点上，使学生不仅能从性质的语义上去理解、记忆性质，而且在出现“二次函数的性质”时，头脑中立刻浮现出这些函数的图像所表示的性质的形象，从而真正把握二次函数的性质.

3结语

数学实验教学不是将现成的结论直接提供给学生，而是通过创设问题情境，充分利用实验手段，从直观、想象到发现、猜想，然后给出验证及理论证明，从而使学生亲历数学知识的建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方式方法.成功的数学实验会成为传统课堂教学的有力助手，对学生在数学认知方面的发展产生重要的重要.因此，数学实验设计的优劣成为数学实验教学的关键.

作者简介姜晓刚，男，中学高级教师，市数学学科带头人，潜心于教学设计，热衷于教学实验，聚焦于课堂和学生，主持并参与多项省级重点和立项课题的研究，有多篇文章发表.