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知识与能力并重 思想与经验齐驱

2013-04-29沈岳夫

中学数学杂志(初中版) 2013年5期
关键词:组块例题解决问题

复习是整合知识、提升认知的系统工程,时间紧,任务重,要求高.教师要从全局考虑,统筹兼顾,把初中阶段所有的知识点分成若干个专题,有目的、有计划、有步骤地复习,一般一两节课复习一个专题.从知识、技能、方法等多方面加以展开,纵向深入,既要使知识有一个“固着点”(基本图形),更应使知识有一个“生长点”(改变图形),对知识进行再归纳、再总结,深入理解知识间的关系,然后再过渡到专题的核心内容,在提出问题和解决问题的过程中,引导学生对典型例题进行变式拓展,建立知识的网络结构,这种方法我们称之为专题复习“组块式”教学模式.本文以《相似三角形与二次函数图象》为例,谈谈笔者的思考.

1“组块式”教学模式的基本流程

1.1引入基本问题,逐渐延伸

从基本问题(基本图形)出发,逐渐增加条件(改变图形),让学生清晰地了解问题(图形)的基本要素之间的关系,然后逐渐拓展延伸基本问题(基本图形).

问题1:P是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一点,过P点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似.

问:你能画出几条符合条件的直线?并且写出添线方法.

学生结论:有3条.如图1,过点P作AB的垂线,或作AC的垂线,或作BC的垂线共3条直线.

图1问题2:已知:AB⊥DB于点B,CD⊥DB于点D,AB=6,CD=4,BD=14.问:在DB上是否存在P点,使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似?如果存在,计算出点P的位置;如果不存在,请说明理由.

学生结论:存在.假设存在这样的P点,如果△CDP和△ABP相似,这两个三角形中由一对顶点肯定是对应点,即D点和B点),而C点有可能和P点对应,也有可能和A点对应,因此有两种可能:

图2图3如图2,若△CDP∽△ABP,得CD1AB=DP1BP,即416=DP114-DP,解得DP=5.6;

如图3,若△CDP∽△PBA,得CD1PB=DP1PA,即4114-DP=DP16,解得DP=2或12.

1.2过渡核心问题,深刻认识

通过基本问题(基本图形)的延伸扩展,逐渐过渡到专题的核心知识,引导学生自己提出问题,同时解决问题.在解决问题的过程中,深刻认识核心知识,明晰核心知识的考点及典型题.

问题3:在平面直角坐标系中,两个全等Rt△OAB与Rt△A′OC′如图4放置,点A 、C′在y轴上,点A′在x轴上,BO 与A′C′相交于D.你能找出与Rt△OAB相似的三角形吗?请简要说明理由.

学生结论:Rt△ODC′∽Rt△OAB;Rt△A′DO∽Rt△OAB.因为Rt△OAB≌Rt△A′OC′,所以∠AOB=∠OA′C′,∠ABO=∠OC′A′.而∠AOB+∠ABO=90°,所以∠AOB+∠OC′A′=90°,即∠C′DO=90°.所以Rt△ODC′∽Rt△OAB;Rt△A′DO∽Rt△OAB.

图4图5问题4:在问题3的条件下,设点B、C′ 的坐标分别为(1,3),(0,1),将△A′OC′绕点O逆时针旋转90°至△AOC,如图5所示,若抛物线过C、A、A′,你能求此抛物线的解析式及称轴吗?

学生结论:抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,对称轴直线x=1.因为易知C、A、A′的坐标分别为(-1,0)(0,3),(3,0),所以设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把点A(0,3)代入,解得a=-1.所以y=-x2+2x+3.

1.3典型例题变式,建立网络结构

引导学生对典型例题进行深一步拓展,同时解决问题.在解决问题的过程中,建立知识的横向联系,从而提高解决综合问题的能力.

图6图7问题5:在问题4的条件下,设抛物线的对称轴交x轴与点M(如图6),P为对称轴上的一动点,你能求当∠APC=90°时的点P坐标吗?

学生结论:当∠APC=90°时(如图7),则易得△CMP∽△PBA,所以CM1PB=MP1BA,即213-MP=MP11,解得MP=1或2.所以当∠APC=90°时的点P坐标为(1,1)或(1,2).

问题6:在问题4的条件下,如图8,线段BM上是否存在点P, 使△ABP和△PMC相似?如存在,求出点P坐标,如不存在,请说明理由.

图8学生结论:这道题与问题2相类似,需分类讨论:

若△CMP∽△ABP,可得CM1AB=MP1BP,即211=MP13-MP,解得MP=2.所以点P坐标为(1,2);若△CMP∽△PBA,与问题5的解题思路一样.

问题7:在问题4的条件下,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.

学生结论:因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以E(1,4),即OF=1,EF=4.过C作CH⊥EF于H点,则CH=EH=1.

当M在EF左侧时(如图9),由于∠MNC=90°,则易得△MNF∽△NCH,所以MF1NH=FN1BC.设FN=n,则NH=3-n,所以1-m13-n=n11,即n2-3n-m+1=0,因为关于n的方程有解,Δ=(-3)2-4(-m+1)≥0,得m≥514;

图9图10当M在EF右侧时(如图10),Rt△CHE中,CH=EH=1,∠CEH=45°,即∠CEF=45°.作EM⊥CE交x轴于点M,则∠FEM=45°.因为FM=EF=4,所以OM=5.即N为点E时,OM=5.所以m≤5.

综上所述,m的变化范围为:514≤m≤5.

1.4寻求共性规律,形成解题策略

学生在对典型例题进行变式以及解决问题的过程中发现共性规律,积累数学活动经验、优化解题策略.

问题8:通过典型例题的变式与拓展,在解决问题的过程中,你发现了哪些共性的规律?

学生结论:依赖基本图形:如图中平行型(或斜截型)、图2中的“镜面反射”型(∠CPD=∠APB)、图3中的“一线三等角”型(∠CPD=∠CPA=∠PBA),以相似为工具,结合函数、方程及数形结合、分类讨论(如问题1、问题2、问题6、问题7)的思想解决问题.

2“组块式”教学模式的特点

“组块式”教学模式是从基础问题、基本图形出发,引导学生提出问题.通过对基础问题、基本图形的分析与思考,主动寻求解决问题的方法并产生新的问题,进而寻求解决问题的方法,再产生新的问题,使问题和思维层次逐渐深入,是递进的过程(如图11).在解决问题的过程中,归纳知识使知识系统化并继续拓展,形成提出问题和解决问题的能力.同时,学生在变式拓展的过程中积累了解决问题的经验和数学活动经验,遇到问题时能够做到举一反三.

专题复习“组块式”教学模式

图11例如,本专题复习中最重要的基本图形是问题2,向学生提出问题.在解决问题的过程中,教师逐渐增加条件、变化图形,让学生主动寻求解决问题的方法并产生新的问题,使问题和思维层次逐渐深入,这时教师继续增加条件并过渡到专题的核心问题:问题3、问题4,继而再解决问题5、问题6、问题7.最后,将问题像“链条”一样串联起来,多题归一,环环紧扣,层层递进.教学中随着“组块式” 型题组的逐一呈现,能够使学生懂其原理,知其方法,通其变化,这样学生在不知不觉中既解决了问题,又获得了方法,也提高了数学思维能力.

3“组块式”教学模式的思考

中考复习时间紧、任务重,我们既要系统地复习主干知识和核心知识,又要关注中考的热点和试题特征,准确把握复习方向;既要注重学生解题的数量和质量,又要注重揭示解题的思维过程,发现学生思维上的漏洞,及时加以弥补;既要关注习题的选择,又要防止单纯地就题论题,注重解题后的反思,以积累解题经验、形成能力为落脚点;既要重视知识的综合、联系,又要关注数学思想方法、策略、学科能力的训练和培养,把复习工作真正落到实处.在此,提出以下3点建议.

3.1重视基本题、基本图形的提炼和挖掘

如果把一道综合题比喻成一幢房子的话,那么具体的知识点就好比砖头、钢筋、水泥等,而基本题、基本图形就好比一堵墙、一个房间.墙与墙之间、房间与房间之间如何搭建,就是解题的思路了.在考场上,面对每一道题目,都要求学生在较短的时间内对解题思路做出选择和判断,如果熟悉一些基本题、基本图形,无疑能提高他们探索解题思路的速度.

3.2要善于采用“组块式”教学

无论是平时的复习课教学,还是中考复习阶段的教学,“组块式”教学都是一种比较有效的方法.“组块式”教学的特点是各个引例(例题)、习题之间具有一定的内在联系(或条件(图形)相似、或结论一致,或方法相同).教学过程中,教师更应发挥习题间的共性,引起学生的注意,起到强化的作用,同时也更易引起学生的兴趣,激发学生参与的热情.

3.3重视反思能力的培养

著名数学家波利亚指出“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾……如果没有了反思,他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面.”解题后的反思可避免解题的错误,掌握解题思路,优化解题方法,发现更多的问题,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生思维的深刻性、广阔性、批判性和灵活性,达到融会贯通的境界.

以上只是笔者在教学实践中实施成功的一些做法.通过“组块式”教学,一方面很好地挖掘习题深层次的知识点,纵横联系,让学生不仅会解一道题,而且会解一类题,实现“以题梳理,以题论法”的目标;另一方面让学生从单一的思维模式中解放出来,促进学生对数学知识的灵活运用,拓展学生的解题思路,训练学生对数学方法的运用,提高解题能力,有效地培养学生思维的深刻性、广阔性、发散性和灵活性.

作者简介沈岳夫,男,1963年10月生,浙江绍兴人,中学高级教师.多次被评为局级先进个人、县星级名优教师;发表文章30余篇,其中有6篇文字被中国人民大学书报资料中心全文转载.

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