个性化数学实验课的尝试设计与思考

孙朝仁　朱桂凤

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下称为《课程标准》）指出：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.数学活动经验需要在“做”的过程和思考的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的.能让“做”的过程落到实处的载体莫过于数学实验.教学中结合具体的教学内容，设计可行的数学实验，让学生经历知识的发生发展过程，是学生累积活动经验和内生新知的有效途径.

在以往的教学中，笔者采用“讲授+自学”的模式进行“合并同类项”.课堂现场反应挺好的，以为学生真会了，其实，是一种假象.后续的学习反馈可知：在概念和法则运用上不是空白就是误用，归因于学生没有亲历知识的出生过程，没有生成理解的知识.

基于标准，源于现实.笔者试图借助松散的数学实验，让概念顺产、算理合情、问题显趣，实现概念法则的正向生长.

本文提供的设计是笔者在践行课堂基础上的一次再设计，并由此引发思考.

1个性化“数学实验课”的设计示例

实验目的

（1）通过动手剪拼图形，发现同类项的概念和合并同类项的法则；

（2）经历操作、观察、思考、交流等过程，获得解决问题的方法和经验；

（3）在数学实验活动中，体悟概念法则的合理性以及实验的经济价值.

实验准备

（1）卡纸若干；（2）刻度尺、剪刀、铅笔；（3）边长为a×a、2a×2a的正方形纸片若干，边长为a×b、2a×2b、a×b2、2a×2b2的长方形纸片若干（基本纸片如图1）.

图1（部分纸片的背面各标一个单项式：5ab2、-3x、-7y、-13b2a、+5、-5x、+2y、-7、112ab2）

实验内容和步骤

（1）将现有的纸片归类并说明理由；

（2）计算纸片的面积并归类且说明你是怎么思考的；

经历以上操作，你有什么发现？请用数学语言阐释你的发现并起个合适的名字.

（3）翻开纸片的背面并观察，指出其中的同类项.

设计意图借助纸片的归类，能直观感知同类项的表征；在计算面积的参与下再度归类，能切身感受概念的本质（所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项是同类项）；让学生在操作的基础上，用自己的元话语提炼待长的概念，能明白概念的源起，让理解的概念置于思维的顶层；让学生识别既定的同类项，能补白实验的局限，让概念通体透明.

（4）操作归纳

活动一：拼一拼，算一算

取相同纸片各2张，分别无缝拼接，计算它们的面积.你发现了什么？说说你的结论.

活动二：叠一叠，想一想

将面积是同类项的纸片大取1张，小取2张并无缝叠合（小在上，大在下），计算未能遮住部分的面积，你有什么发现？写出你的结论.

请用规范的数学语言提炼合并同类项法则：

设计意图借助相同纸片的拼接，从整体与局部的关系入手，能让学生明白将“同类项系数相加”的必然性；将面积是同类项大小不一的纸片叠合，关照未被遮住部分的面积，让学生明白将“同类项系数相减的”存在性；让学生自己提炼合并同类项法则，能使学生在实验中获得的感性认识及时上升为理性认识，让晦涩的法则敞亮通透.

（5）验证猜想

做一做，猜一猜

若两个长方形的面积和为5ab，你认为这两个长方形的面积可能是多少？借助剪拼纸片，验证你的猜想.

若两个长方形的面积差是-3ab2，你认为这两个长方形的面积可能是多少？借助裁剪叠合纸片，验证你的猜想.

设计意图借助剪拼或裁剪叠合符合条件的图形，能解释合并同类项法则的合理性，培养学生的逆向思维能力.设置的两个活动都具有开放性，为学生提供广阔的求解时空，能让思维触及同类项系数和合并结果的多样性，深化对合并同类项法则的认识，延伸后续的学力.

（6）问题解决

活动一：移一移，做一做

拿出卡纸，剪6张你喜欢的相同图片，用彩笔分别标出以下单项式：

a2、-3ab、+5、-a2、-3ab、-7

指出其中的同类项并说出它们的和；将6张纸片摆成一行且同类项的放在一起.写出结果，说明理由.

根据上述操作，请解答下列问题并说明每一步的操作依据.

合并同类项：

a2-3ab+5-a2-3ab-7

活动二：写一写，赛一赛

任意写出含有同类项的多项式，并写出规范的解答过程.比比谁写得典型，答得精准！

设计意图设置的这两个活动，不是实验的继续而是新知运用的缀补.能解决松散实验够不到的问题，能让新知找到依托载体，为系统知识寻到通道，为讲授课切入数学实验提供一种可行的操作范式.活动一能让同类项的概念和合并同类项的法则得到固化和充满地气，将“同类项纸片放在一起”，可避免学生乱添括号带来的负迁移；“说操作依据”能让学生养成有理有据的思维习惯，能为正确合并同类项提供经验铺垫.活动二多维开放，借助此活动的展开，能锻炼学生的逆向思维，实现知识的正向迁移，亦能培养学生的求异精神和创新能力.

实验评价表

实验名称

评价视点 1探索合并同类项的法则我的认识1我的发现1我的困惑1自己的评价1同伴的评价1教师的评价1

设计意图实验评价表的填写，一方面可以有效盘点新知，另一方面可以延伸思考，让新知由感性思维层面上升到理性高度，链接思考可深化到知性思维境界，从而让完满的知识无缝的纳入到已有的知识谱系，实现知识的正太分布.在践行课标评价（目标多元）理念的同时，也能让疏于思考的学生自然而然养成思考的习惯，洗练数学人原本应有的个性思想.

2个性化“数学实验课”的思考

个性化数学实验课的课格涵育数学实验的表征但又缺乏纯粹性，更关照课时知识谱系的完备性.他不是一节完满的实验课，也不是一个纯粹的实验片断，更不是常态的探究课，而是以实验片断为主线，饱含探究表征，兼顾课时知识系统化的一种松散的活动课.他能屏蔽因实验片断带来的知识脱节或实验暂时无法解释的知识现象（比如合并同类项：a2-3ab+5-a2-3ab-7）.这里的“个性化”具体体现在以下三个层面，其一充满数学实验的地气缺乏单纯性；其二饱含探究的味道缺乏内在气质；其三观照课时知识的连贯缺位常态课规.它极力张扬“学的个性”、“做的慢性”、“玩的天性”，能让学生玩的开心、学的快乐，做的到位，理解通透，能实现知识能力的双向发展.

2.1基于“学”的个性，数学实验能让难产的概念顺生顺产

《课程标准》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”数学实验能让学生学习过程中“学”的个性（内生知识）得到淋漓尽致的展现，因为实验的过程就是学生借助已有的知识经验，在实验流程的指向下，仰赖动手、动口、动脑的积极参与，经历知识的具体出生过程即是学生自己内生知识的过程.数学概念天生的抽象难产.经年的教学实情显示：在学生的知识谱系中，就理解思维层面而言，对概念的理解一般都处于“夹生”状态.在涉及运用概念的本质时，一般都出现理解的偏差，造成解题思维出现断层，结果往往劳而无获，因此夯实概念的根基凸显位高权重.数学实验是学生理解概念法则的有效工具，能让抽象的概念形象化、刻板的概念生活化、难产的概念顺产化、滞胀的概念渐次消化……

笔者鉴于以往的教学尴尬和切肤教训，试图借助可行的数学实验帮助学生理解“同类项”的概念.先让学生归类给定边长的纸片，学生凭借直觉思维并照顾边长，很容易把形状相同或形状相似的纸片归为一类，此时学生的思维处于感性层面；再让学生借助计算面积，再次予以归类，学生的感性思维顺理成章的上升到理性的层面，实现理解思维的一种质变.让学生亲历具体的操作，感受数据从手边自然诞生，生成一些生动的单项式（a与2a，ab与4ab，ab2与4ab2），在审视单项式的过程中，学生会自然发现同类项的共同特征，借助小组合作的力量和集体的智慧碰撞，就能揭示“同类项”概念的本质，进而内生理解的概念.这种获得知识的经历是终身难忘的，获得概念的本质是刻骨铭心的，定格成永远的记忆、永恒的理解，不会有后续的负效学习.因此这样的实验值得做、应该做，必须做，尽管看似浪费一些时间，但却是教学集约的行为，为学力的长足发展做了不可或缺的铺垫.“我听过了，就忘记了；我见过了，就记住了；我做过了，就理解了.”正如美国华盛顿的一家儿童图书馆里一句醒目的话如是说.

史宁中先生曾说：“我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历.智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，教师只能让学生在实际操作中磨练.”现代教学理论认为，学习不是学生对教师所授予知识的被动接受、反复练习、强化储存的过程，而是学生以积极的心态主动参与、运用原有知识和经验来探索解决问题、同化知识、结构新知的过程.诚然，教育家以及“现代教学论”都明确界定“学”的本质（自我建构知识），为了顺畅的学、通透的学、高效的学、幸福的学，必须借助数学实验的手段实现概念的实效生长，才能让难长的概念顺风顺水，一路走来、踏踏实实.

2.2基于“做”的慢性，数学实验能让抽象的算理可感可摸

荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看课本、听讲解、观察他人的演示是学不会的.”这里的“亲身体验”即“做中学”.数学公式、法则靠间接的学很难真学会.因为抽象的算理看不见、摸不着，仰赖单纯的说教和派送很难让学生真理解，必须借助匹配的载体让学生在“做”中体会其来龙去脉，才能慢慢内化和渐次吸纳.美国教育家杜威倡导“做中学”.因为“做”能让学生切身感受知识从手边自然诞生，能让抽象的知识直观化、具体化、形象化、生活化，易于消化、便于理解.“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.”教育现象和教育家的教学视野总是相融共生的，都把“做”镶嵌在理解抽象的窗口，让“做”给抽象的算理理解带来可感可摸的福音.而“做”的最好方式莫过于借助数学实验，个性化的数学实验就是以简单易行的“做”为抓手，让学生在“动手做”的慢镜头中渐次理解抽象的算理，“慢镜头”中的思维如浸泡的香茗，能慢慢舒展开来.“做”是一个过程，天生的“慢”，可能会压缩课堂容量，却是理解抽象的关键，“慢”能让抽象的知识得以理解，能让原本无法理解的法则在思维家族中渐次通透敞亮，能让抽象的算理趋于形象具体、可感可摸.

不久前的教学经历，时常让我内省自责.“合并同类项法则”在我的视界是相当的简单，在施教时，并没给予观照，只是让学生借助类比，草草生成待长法则，然后让学生在模仿锻炼的基础上完成知识的消化过程.当时学生基本上都能在法则的指向下，完成既定的解题，感觉课堂生成还行.稍后执教了“建构式生态课堂”示范课（“去括号法则”），学生在合并同类项的过程中，暴露了许多问题（有的将字母的指数相乘、有的仅写出结果的系数、还有的束手无策等），硬性记住的法则全忘了，给后续课堂生成带来了麻烦.这种当头棒喝才成就“我的一节数学实验课的尝试设计和思考”，才有追求理解抽象算理的教学初衷.前车之鉴，让我明白在学生的思维国度里，只有理解抽象，才会有真知生成，否则均是假性生成（抛得越快，忘得越迅速）.为让“合并同类项法则”的抽象性得到通透理解，让学生在无缝拼接相同纸片和无缝叠合相似纸片的过程中，借助计算面积的方法，感受抽象的算理直观化、具体化，感悟代数式与图形的内在关系；借助剪拼或裁剪叠合纸片，在计算面积的参与下，让学生亲自验证抽象算理的存在性和自然性，及时的将形象思维升华到理性的高度，实现了算理思维的有效融合.让学生真正经历法则出生的慢过程，到达“不仅知其然，而且知其所以然”的理解境界，才会造就根深蒂固的法则，才能成就抽象算理的可感可摸可理解；唯有“做”的慢性，才能让法则步步留痕，才能让算理有根有据，才能让知识烂熟于心.“数学活动经验需要在“做”的过程中和思考的过程中积淀”课程标准如是说.

2.3基于“玩”的天性，数学实验能让冰冷的问题有情有趣

《课程标准》指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”心理学家皮亚杰指出：“教师不应企图将知识硬塞给学生，而应该找出能引起学生兴趣，刺激学生的材料，然后让学生自己去解决问题.”前苏联教育家苏霍姆林斯基曾说：“教师如果不想方设法使学生产生情绪高昂、智力振奋的内心状态，学习是很难有效进行的.”

无论是课标理念还是教育家的教学视点都融入“激发兴趣”的课堂教学指向.数学知识堪称“冰冷的美丽”，教科书中那一段段看似简短的文字，不知隐藏了数学家多少缜密的探究和思维的跃动，如果将这些现成的定义、法则和公式直接塞给学生，味同嚼蜡、难以消化.为将“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”，必须借助孩子们“玩”的天性，赋予冰冷的问题以温暖的质感，才能让问题思维充满情趣.在数学视界里最好玩的载体当首推数学实验，因为实验能迎合孩子们的好奇心（玩），能让课堂里“坐如钟”的孩子随意的摆放自己的身体，暂时摆脱课规的束缚，内生一种由衷的解放感；也只有好玩、想玩、能玩，才会有经验的累积、知识的吸纳、思想方法的衍生、数学能量的增长，学力的发展.因此，数学实验能让冰冷的问题有情有趣.

为节省时间，同类项概念引入的常态，一般都是教师在黑板上给出具有同类项特征的几类单项式，象征性的引导学生观察，教师给出自己的理解，让学生标示课本上的定义并死记硬背，然后进入模仿训练环节.这个过程似乎经济实惠，其实仅是一种短时效应，对学力的发展没有任何帮助，学生是被动的“记”数学，“学”的主体性没能展开，“玩”的天性没能显发，实实在在的收效可想而知.饮鸩止渴，只会让冰冷的问题更加寒冷，无情无趣的问题更加生涩乏味，课堂实效是值得拷问和考量的.介入简单易行的数学实验（把玩纸片），结果精彩冉冉，学生玩的开心、学的兴趣、做的规范，收效不需言传.几张简简单单的纸片，就让学生的思维踏实着陆、情智相拥、兴趣外溢，经历简单的直观操作和计算帮助，就将生冷的概念厘得清清楚楚；借助实验的补白操作（挑选同类项），内生的概念周身透明.“知之者不如好之者，好之者不如乐知者.”（《论语》）圣人如此关照“兴趣”，现代的教育者何由不为？

3后续的思考

个性化的数学实验是对教学现实的一种实然诉求和应然选择.设计的初衷是帮助学生催生难产的知识（概念、法则、公式、定理、公理等），理解不易内化的知识，自然生长能力够不到的思维经验，极力追求知识能力的正向发展.不是数学家视阈内严格意义上的数学实验（强调流程的完整性、操作的规范性、类型的界定性……）个性化的数学实验课更关注好玩、好做、好理解，激情引趣是关键，自然生成是视点，学力发展是原点！能让传统课堂充满数学实验的味道，能调和纯粹的数学实验有时无法兼顾的知识体系，能为每一节课融入数学实验的元素提供一种可行的操作范式.