加强知识的纵横联系，培养学生的数学能力

初中数学的每一个知识点都不是孤立的，而是相互联系的，既有纵向数学知识之间的联系，也有横向与其它学科、与现实生活的联系.在数学教学中，应该加强数学知识前后联系的把握、内在联系的探究、多学科知识的渗透，开拓学生的思维，培养学生的发现问题、分析问题、解决问题和创新能力.因此，在教学中要做到以下几点：

1寓旧知于新知学习中——防止知识的遗忘

在数学教学中，巧妙地寓旧知识的复习于新知识的学习中，不仅可以巩固旧知识，而且通过新旧知识的相互影响，学生将会把新知识纳入原有的知识结构中，从而丰富了原认知结构的内容，使新知识同化为自己头脑中的一部分，同时学生通过一系列的分析、综合等思维活动，在获得新知识的同时，加深了对旧知识的理解，这样学习的知识格外牢固，不容易被遗忘.

1.1通过类比与转化联系旧知识

许多新知识实际上是旧知识的组合和延伸，充分调动并正确引导学生运用已有知识去获取新知识，通过学生思考、探索求得新知识，是学习新知识的一种重要方法，也是顺利完成知识迁移的一种重要手段.

例如，类比一元一次方程的解法解一元一次不等式；引导学生由三角形中位线定理探索梯形中位线定理；联想全等三角形的判定方法去探索相似三角形的判定方法等等.数学中的转化思想也充分体现了知识之间的这种纵向联系，如：把多边形转化为三角形求其内角和，把高次方程转化为低次方程求解，把求函数图象的交点问题转化为解方程组的问题等等.

许多新概念的教学还可以引导学生根据已有的认知结构，通过观察探索、归纳总结得出.例如：观察以下函数：y=2x-5， y=-3x，y=-05（x+3）…，给出一个合适的定义.学生根据已有的“函数”“方程次数”的知识，结合它们的共同特点，从而得出一次函数的定义.以旧探新，不仅可以促进知识的迁移，还可以培养学生的探索精神和自学能力.

1.2通过习题设计渗透旧知识

做习题是数学学习中巩固知识的一种重要手段，在习题设计时，有意识的与前面的知识结合起来，可减少遗忘.如：在学习平行四边形的性质时，可通过作对角线、作高等形式把平行四边形分割成三角形，通过不同习题的设计，巩固平行线、全等三角形、等腰三角形以及直角三角形的有关知识；学习梯形时，又可巩固平行四边形、矩形及三角形的有关知识.而在圆的一章中几乎可以通过不同的习题融入初中几何的所有知识点.

代数虽然没有几何联系的那么密切，但通过教师的巧妙设置，同样可以达到寓旧于新的目的.代数与几何联系的题也很多.如把正方形与相似、解方程、函数联系起来.在习题设计时，注意知识的前挂后联，在教学中环环相扣、层层渗透，既有利于培养学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，又可以使知识的遗忘率达到最低.

1.3瞻前顾后，通盘考虑

在平时的教学中，无论教哪个年级，教师都要站在整个初中的角度，纵观全局，通盘考虑.在教授某一段知识时，不仅要考虑与前面那些知识相关，还要考虑如何为下一步的教学打好基础.如，在多项式乘法一节，对几个乘法公式要让学生切实理解公式中等号两边各代数式的特点，不仅会正向运用，而且会逆向运用，为下一步学习因式分解作好铺垫.又如学习分式、无理式的概念时，要让学生切实理解它们的意义，明确为什么对其中的字母加以限制，以为将来求函数自变量的取值范围打好基础.而应用题的教学则应该把侧重点放在初一，在一元一次方程的应用上多下点工夫，只要这一部分过了关，后面的方程组的应用、分式方程的应用以及函数的应用都能比较容易地解决.

2研究基本图形——搭建知识之间的桥梁

在几何教学中，对基本图形的研究不能忽视，它们往往是解决一些复杂问题的纽带和桥梁，许多复杂图形都是由基本图形组合而成.同时它们又是一些实际问题的数学模型.因此，通过对基本图形的研究与探索，了解其中的一些常用结论及方法，对解决一些复杂问题和实际问题很有帮助.如平行关系中的基本图形和 ， 经常出现在平行四边形、梯形等有平行关系的图形中，我们常利用这种基本图形中的相似三角形和比例线段进行“等比”转移.

在具有双垂足的基本图形中，既有同角（或等角）的余角——相等，又有相似三角形及线段的比例式和等积式，还可以运用勾股定理、射影定理、三角形面积公式求线段长.这种基本图形经常与圆、解直角三角形、函数图象结合在一起.

解直角三角形中的基本图形：这是在解三角形时常见的图形，也是在测量问题、航海问题等实际问题中常遇到的数学模型.我们常把斜三角形的问题转化为直角三角形来解决.

在教学中，结合基本图形，和学生共同研究在不同条件下边与角的求法，条件由直接变为间接，再由纯数学问题添加背景资料改为不同的实际问题，让学生进行编题训练，使学生认识到许多复杂的数学问题实际是一些简单数学问题的组合和延伸.而一些实际问题，也可以通过建立数学模型转化为基本数学问题来解决.从而达到举一反三、触类旁通，灵活运用知识的目的.

3探索数学知识系统的联系——开拓解题思路

数学知识之间的联系，包括同一系统之间的相互联系，也包括不同系统之间的联系.如运用数与形的结合可以建立代数、几何、三角知识之间的联系；采用转化的方法建立求函数自变量取值范围与求使代数式有意义的字母的取值范围之间的联系；运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题；利用图形理解完全平方公式、平方差公式等恒等式；利用函数图象理解函数的变化趋势等等.在习题的设计与讲解时应有所体现.

3.1数形结合使代数问题直观化

数形结合是联系代数与几何的重要桥梁，也是解决问题的常用数学方法.

例如：已知a<0，ab<0，且|a|>|b| ，则有

A.a<-b

C.a

此题联系数轴上a与-a关于原点的对称性，容易判断A是正确的.

数与形的结合使问题更直观易解.

3.2以点带面，多方联系

在平时的教学中，可以从一个知识点出发，联系和它相关的许多知识；也可以从一个题出发，联系不同知识，从而探索多种解法，以达到开阔学生思路，训练学生思维灵活性的目的.如“线段的垂直平分线”就可以联系许多知识点.

线段垂直平分线上的点与线段两端点的连线如果看成一个图形就是等腰三角形，如果看成两个图形就是全等三角形、直角三角形，同时，它们还是轴对称图形，在图案设计中常会用到此类作图.因此，当遇到“线段的垂直平分线”这一条件时，常常会结合相关知识去解决.

又如，二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0 有着密切的联系，当y=0时，二次函数即成为一元二次方程，而此方程的根的情况又决定了函数图象与x轴交点的个数.二次函数的知识与一元二次方程交织在一起，有许多综合题就是根据这些联系来编写的.因此，多了解知识之间的内在联系，不仅可以领悟数学的奥妙，还可以增强自己运用知识的灵活性，会把综合问题分解为几个基本问题的组合，从而开拓学生的思维，进一步提高分析问题、解决问题的能力.

4结合生活实践 ——培养数学应用意识

生活中处处有数学，其应用也越来越广泛.在教学中结合实践活动，让学生在体会数学应用价值的同时，也学习到相关的数学知识.

如：让学生调查周围亲戚朋友的身份证号码，并探索其规律，从而体会分类、排序及归纳的数学思想.

有的同学喜欢打台球，不妨通过数学题让学生了解台球的运动路线.如右图，是一个经过改造的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）号袋.

A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋

学生根据自己的实践经验，再结合物理中的反射原理可知，球应进入2号袋，故选B.

以现实生活为背景，更能激起学生学习知识的兴趣.如在学习“平均数”一节时，可先出示问题：路旁有一个鱼塘，旁边竖的牌子上写明：此塘平均水深为15m.小明身高为17m，不会游泳.一天，他往塘边经过，不小心掉入塘中，你想结果会怎样？为什么？从这个问题中，你发现“平均数”有什么特点？

这是一个开放性的问题，并带有一定的趣味性.可以让学生讨论、说理，从中发现平均数的特点和存在的缺点，这样既充分暴露了学生的思维过程，培养了学生思维的广阔性和深刻性，又让学生结合现实背景，自主地、真正地理解了平均数的优缺点.

结合学生喜爱的足球，也可以提高学习兴趣：在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，问此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？

此题通过证明圆周角大于圆外角，通过比较张角的大小判断出在B点射门好.

学生学习数学的重要目的之一就是应用所学的知识去解决现实生活中遇到的问题，教师在平时教学中，应有意识地收集、整理一些适应学生实际、适应本地生活、生产需要的实际应用性问题，注意收集与数学内容相关的实际素材组织教学活动，增加实习作业和探究活动，找到实际问题过渡的渗透点，学会将现实生活中的问题抽象为数学问题，使学生领悟数学的应用价值，达到潜移默化地培养学生应用数学的意识的目的.

作者简介刘桂林，男，1979年6月生，山东高密人.中学二级教师.多次获得教学成果奖、优秀教师、优秀班主任、校教学能手等荣誉称号.