数学教学应重点设计四类问题

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》）在“课程基本理念”中强调，“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”要落实这一理念，教师必须精心设计问题，那么应设计怎样的问题才能符合上述要求，引导学生不断的“提出问题和解决问题”呢？经过长期的实践探索，我们认为教师应重点设计以下四几类问题：

1设计能引起学生思考与猜想的问题

《标准》特别强调要改变学习方式，鼓励学生自主发展.指出数学教学应“从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促进学生主动地、富有个性的学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力.”在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强，无不是从“问题”开始的.对于数学中的一些概念、性质、法则、公式等新知识的学习，教师应结合具体的学习内容，设计能引导学生通过思考，产生认知冲突从而进行猜想的问题.

案例1负整数指数幂的意义.

为了让学生理解规定a-n=11an（a≠0，n是正整数）的合理性，可让学生计算下列问题：23÷25和102÷106.

为了引起学生思维的认知冲突，引导学生分别按以下两种方式计算上面的两个题目：

（1）根据分数的意义和约分法则计算

（得到23÷25=23125=1122和102÷106=1021106=11104）

（2）仿照同底数幂除法的运算法则进行计算

（得到23÷25=2-2和102÷106=10-4）

在学生得到两种不同结果的前提下，启发学生回答：要使被除式的指数小于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，我们该怎么办？

学生思考、猜想、议论、交流……，之后，得到的答案是：应该有：2-2=1122，10-4=11104.

教师：同学们猜想的很对，为了使被除式的指数小于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，我们规定：a-n=11an（a≠0，n是正整数）.

负整数指数幂概念的建立过程就是从让学生选用不同的方法解决两个计算问题（23÷25和102÷106）得到不同的结果开始的.我们知道对于同一个数学问题，尽管可以有多种不同的解决方法，但结果因该是一致的.这样一来，学生思维就会产生认知冲突，为解决问题，他们自然会进行一系列的思考、交流等活动，从而产生猜想——不同的表述形式在本质上应该是相同的，即得到2-2=1122，10-4=11104，从而建立起负整数指数幂概念a-n=11an.

波普尔指出：“知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发大量新问题的问题.”数学中的基础知识几乎都可以通过设计相应的“下位”问题，让学生在解决这些问题的过程中，发现已有的知识不够用了，于是自然的引出新的知识.这样可以逐渐学习新的数学知识，不断扩大其认知结构.

2设计能引导学生探究与发现的问题

布鲁巴克说过，“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则是让学生自己提出问题.”数学教学应根据具体的学习内容，创设适当的问题情境，以此引导学生进行探究活动，在探究的过程中发现新的数学知识.在设计带有探究性的问题时，教师应注意多设立疑点，让学生在“无疑——有疑——无疑”的过程中，达到由未知到有知、由浅及深、由表及里、由此及彼地掌握知识，形成学习能力的目的.

案例2：引导学生探索“三角形的中位线定理”的过程.

师：请同学们用剪刀剪一张三角形纸片ABC，并把剪得的图形拼成平行四边形.

（很快，学生都能把剪到的图形拼成平行四边形）

师：谁能说说自己是怎样剪的呢？

生A：沿三角形的中间剪开，这样一拼就可以了.（学生A边说边把自己的纸片拿出来演示，老师在黑板上画出图形1）

图1图2师：图1中的D，E应该在AB，AC的什么位置，才能拼成平行四边形呢？

生A：在中间位置.

师：很好，我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，如图1中的DE就是△ABC的中位线.

师：在图1中你们还能发现什么结论呢？（学生的思维开始活跃了，同学之间的讨论与交流也开始多起来了……）

生1：DE∥BC，DE=112BC.

生2：△ADE≌△CFE.

生3：AB∥FC.

生4：DF=BC.

生5：四边形BCFD是平行四边形.

生6：DE=EF.

师：如果要证明命题“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.”谁能用数学语言来表述这个命题呢？

生7：已知，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=112BC.

师：很好，同学们能证明吗？

（大部分学生都是画出图1所示的图形，先证明△ADE≌△CFE，然后得到四边形BCFD是平行四边形，由此可得到DE∥BC，DE=112BC.）

师：还有不同的证法吗？

生8：利用△ADE∽△ABC.

师：能简述一下证明过程吗？

生8：由AD=112AB，AE=112AC，∠A=∠A，得到△ADE∽△ABC，由此可得∠ADE=∠ABC，DE∥BC，DE=112BC.

师：很好，还有不同的方法吗？

生9：如图2，过点D作DF∥BC，△ADF∽△ABC，AD1AB=AF1AC=DF1BC=112，由于E是AC的中点，AE=112AC，因此，点E与点F重合，故DE∥BC，DE=112BC.

师：很精彩，连老师也很意外，这种方法在数学中叫同一法.

学生在教师“递进式”问题的引导下，完成了证明三角形中位线定理的任务.因为教师的适当引导，才出现了学生利用平行四边形性质和相似三角形性质证明的不同方法.也正因为教师不失时机的问了一句“还有不同的方法吗？”，才出现学生9的精彩“证法”.这个“意外收获”正是现代课堂所希望和追求的.

爱因斯坦曾经说过：“提出问题往往比解决一个问题更重要.因为解决问题也许是一个数学上或实践上的技能而已，而提出新问题，新的可能性，从新的角度去看问题都需要创造性的想象能力.”数学上一些定理、法则都可以在教师的引导下学生自己去发现、去证明.本案例就是教师引导学生从剪纸——拼图入手，首先在学生动手的过程中，给出三角形中位线的概念，然后让学生通过观察、思考、发现图1中有许多成立的结论，最后提出如何证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.”在学生探究证明的过程中又生成了新的知识，这一点出乎教师的“预设”.这种意外往往给学生带来探究的冲动，由于这种临时探究与老师预设的探究会让学生产生完全不同的感受，因此，课堂的活力经常在这样的情境中让人激动.这也正是《标准》要求教师处理好“预设”与“生成”关系的道理所在.

事实上，学生学习的过程与科学家的研究过程在本质上是一致的.因此，在教学中应引导学生要像“小科学家”一样通过研究活动去发现问题、提出问题、分析问题直至最后解决问题.学生在探究过程中除了能获取知识、发展技能、形成能力（特别是创造能力）外，还能受到科学价值观和科学方法的教育，并发展自己的个性.从而实现《标准》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念.

3设计有利于问题解决的问题

问题解决中的“数学问题一般指对人类具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以直接套用的那类问题.”对于这样的问题，需要综合地运用各种数学知识方能解决.我国学者戴再平先生对问题是这样叙述的：（1）对学生来说不是常规的，不能靠简单的模仿解决；（2）可以是一种情景，其中隐含的数学问题要学生自己去提出、求解并作出解释；（3）具有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；（4）不一定有终极的答案，各种不同水平的学生都可以由浅入深地作出回答；（5）解决它往往需伴以个人或小组的数学活动.问题解决主要是指解决上述问题，它要求学生能够从给出的问题中经过分析，建立起数学模型，并能够灵活运用有关知识解决.这样的活动对于培养学生的应用意识和创新意识具有重要的作用.因此，重视问题解决是各国数学课程标准的共同要求.

问题解决不仅仅是数学课程的目标，而且还是一个发现的过程、探索的过程，也是学生实现“再创造”的数学过程.学生借此过程可以真正认识、感悟和理解数学.通过问题解决可以让学生学会独立思考，标新立异，学会怎样分析、怎样判断、怎样推理、怎样发现、怎样解决问题.因此，设计这样的问题对于提高学生的综合数学素养是非常必要的.

案例3：哪种方法用绳最短？（2011年青岛市中考题）

【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N>0，则M>N；若M-N=0，则M=N；若M-N<0，则M

【问题解决】如图3，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.

解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab，所以M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2.

因为a≠b，所以（a-b）2>0，所以M-N>0，所以M>N.

【类比应用】（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为a+b12元/千克和2ab1a+b元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.

（2）试比较图4和图5中两个矩形周长M1、N1的大小（b>c）.

图3图4图5【联系拓广】小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图6所示（其中b>a>c>0），售货员分别可按图7、图8、图9三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由.

图6图7图8图9分析：类比应用：（1）作差a+b12-2ab1a+b，化简后与0比大小.（2）M1=2（a+b+b+c），N1=2（a-c+b+3c）.联系拓广：设图7、图8、图9的捆绑绳长分别为e、f、g，分别比较e-f、g-f和g-e的大小，即可确定出e、f、g的大小.

本题分为四个部分“问题提出——问题解决——类比应用——联系拓广”，前两部分是需要同学们阅读的材料，后两部分是需要同学们解答的部分.在“问题提出”部分给出“作差法”的定义，并用具体的字母加以表示；为降低同学们的解题难度，“问题解决”部分，结合具体的图形就如何应用“作差法”给出了一个典例.在第三、四两部分，只要能充分利用问题提出中作差法的结论，仿照问题解决部分的解答方法就能顺利完成.本题主要考察学生的观察分析能力、图表处理能力、推理论证能力和书面表达能力，对于培养学生的数学综合能力非常有益.这样的考题体现了《标准》的课程理念，类似的问题，应成为教师们设计问题的方向.

4设计能进行实验操作的问题

《标准》指出：“学生学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听课、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式.”有些数学知识，可通过数学实验直接获得，学生在动手实验的基础上，既能从中发现数学原理，还能体验到问题的结论和方法之间的精彩过程，以已有的知识和经验为基础进行积极“和谐”的建构过程，从而把新的学习内容正确地纳入到已有的认知结构中去.所以对于这样的知识，教师应通过创设问题情境，提出相应的问题，以此引导学生进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动.

案例4探究“轴对称图形的性质”.

关于某一条直线成轴对称的两个图形所具有的性质是在学习了轴对称图形、线段和角及等腰三角形的对称性的基础上安排的.我们可以从生活实际出发，引导学生通过下面的实验自主发现：

图10如图10所示，（1）把一张纸对折后扎一个小孔，然后展开铺平.

（2）连接得到的两个小孔A和A′，记线段AA′与折痕MN的交点为O.

（3）思考：线段AA′与直线MN具有怎样的位置关系？你发现了哪些等量关系？再扎几个小孔重新验证一下自己的发现.

图11学生小莹扎了三个孔，把纸展开铺平后连接各点，得到了图11，其中直线MN为折痕.这时让同学们思考下面的问题，并相互交流自己的发现：

（1）线段AB与线段A′B′的长度有什么关系？

（2）△ABC与△A′B′C′的三个内角有什么关系？

（3）△ABC与△A′B′C′有什么关系？

学生通过剪纸、折叠、观察、思考等一系列的活动，在以上问题的引导下，能自主发现并概括出轴对称图形的性质：

如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.

为了让学生探究“轴对称图形的性质”，案例设计了三个活动：首先，进行生活化处理——让学生进行扎空活动；然后，引导学生观察展开后有关图形之间的关系；最后，进行思考与交流，归纳出轴对称图形的性质.至此，学生通过“扎空—探究—概括”等活动，完成了一个数学学习过程，这样安排，比教师直接给出轴对称图形的性质，学生理解的深刻、记忆要长远，而且还搞清楚了性质的“来龙去脉”.另外，这样安排，学生除了能发现上述性之外，还掌握了简单图形关于某一直线的轴对称图形的画法，扩展了对轴对称图形的有关知识的认识.

数学实验是数学学习的一种方式，这种学习方式，不是让学生被动地接受教材上或教师讲授的现成结论，它可以使学生逐步掌握数学研究的规律，逐步构建并完善、发展自己的数学认知结构.培养学生用数学的观点、方法去观察生活中的现象、事物，从而提高他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.真正做到数学教学不仅要教给学生知识，更重要的是帮助学生形成智慧.通过实验活动，学生亲身感悟解决问题、应对困难的思想和方法，可以逐渐形成正确思考与实践的经验.这比让学生跟着教师去验证、推断已有的结论要有意义的多.学生只有经常进行这样的实验活动，才能发展自己的思维能力、理解能力与创造能力，从而逐渐形成创新意识和创新精神.

华罗庚先生曾说过：“不要只给学生看做好了的饭，更要让学生看做饭的过程，数学教学要设法使数学知识‘活起来.”通过设计的问题，引导学生经历一系列的思维活动（如阅读教材、独立思考、分析判断、实验操作，推理验算、探究发现等），在经历这些数学活动的过程中，发现有关的结论.真正使“教学过程成为学生持续不断的探索过程”，而且这个过程是一个循环的过程，在解决每一个问题的进程中，教师都可以利用问题来引导、帮助学生获得对学习内容的深刻理解和掌握.正如美国心理学家布鲁纳说的那样“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的.”

参考文献

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