数学探究意识与能力的培养

石柄其

我国数学教育的普遍模式为：勤于习题演练，重视系统训练，注意知识的梳理与结构的掌握，并进行较多样的变式训练，通过练题来及时巩固和强化知识，精讲多练.在这种模式下，学生通过大量的做题，学生的双基很强，特别是计算的熟练和推理的严密性比较好.这个模式有3个弱点：（1） 学生注重于数学习题本身的解决，模仿多，创新少，而且高中三年的习题训练造成更高层次数学人才的缺失，很多的学生在大学里对数学敬而远之；（2） 不注意数学与其他学科的联系，学生对来自实际生活的应用问题束手无策；（3） 面对新的背景的问题，在自己的知识体系内没有探究的意识与能力，不能合理地解决问题.

针对上述问题，新课程标准提出：数学教育要从学生和社会发展的需要出发，发掘学生的潜能，激发学生学习的主动性和创造性，促使学生积极主动的学习，提高学生的创造能力.而学生创新意识、创新精神、创造能力的培养，创新方法和技能的形成，均要求学生要有强烈的探究欲望，一定的探索能力.另一方面，心理学也指出：学生通过间接经验获得的知识，比方说阅读材料或通过教师的讲授获得的知识，学生估计只能记住10%—20%，并且记忆的保持并不长久；而通过观察事物和现象获得的知识能记住30%左右；如果是通过视听两种方式获得的信息，而且会自己描述，便能记住70%左右；如果学生是通过直接经验获得的知识，比方说动手操作、探究总结而获得的知识，则能记住90%左右，并且记忆能长久保持.因此教师如何在课堂内外营造出和谐的探究气氛，创造优越的探究条件，使学生有强烈的探究意识，形成很强的探究能力呢.

一、 在知识的形成过程中培养探究意识

新课程教材重视知识的发生、发展过程，主要通过两个途径：（1） 通过具体实例引入概念、呈现命题；（1） 重视数学知识在现实生活、生产中的应用，展示数学与现实生活的联系.前者把感性的认识内化为学生自身知识体系的一部分，学生能够清楚地知道知识的来源；后者是应用，交代知识的去处或者是落脚点.我们发现在知识生成的过程中，教材中的部分实例可以作为探究的载体.

如在数学归纳法的引入中，苏教版教材中给出了两个实例[2]：

（1） 华罗庚实验：如果一个袋子中的东西是有限的，则可以通过依次摸出判断袋中球的类型.当袋子中的东西是无限的时候，如果有保证：“当你这次摸出的红玻璃球的时候，下一次摸出的也一定是红球”，这样只要第一次摸出的是红玻璃球，那么就可以做出正确的结论：“袋子里的全是红玻璃球”.

（2） 在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使得所有的砖都倒下，只要做两件事就可以了.第一，使得第一块砖倒下；第二，保证前一块倒下后一定能击倒下一块，这个模型其实是多米诺骨牌模型.

上述的两个实例是实际生活的，学生可以从中自主产生一个与自然数有关的命题的证明方法—数学归纳法.为了让学生进一步解数学归纳法，我们又提出了一个问题：“要保证所有的多米诺骨牌全部倒下，你还可以有哪些条件和保证”，其实这里的条件就是归纳证明的起点，保证就是归纳的递推证明.学生思考片刻之后，纷纷发表自己的看法.

学生甲：如果第一块骨牌倒下，而且有这样的保证：“如果前面k块骨牌倒下，一定能击倒下一块”，这样似乎也能保证所有的骨牌倒下.这可以用来证明与自然数有关的数学命题吧？（这时候，其他同学赞许地点了点头）

老师：是否还有其他类型的数学归纳法呢？课后请同学利用身边的材料写出一篇小论文，题目就叫做《我对数学归纳法的认识》

一周之后，学生们完成了他们的小论文，在小论文中，有一位同学提出了自己对数学归纳法的，可为独具匠心.他提出了在数学归纳法可以增加跨度，也可以用来同时证明多个命题即螺旋归纳法，而且他对数学归纳法的本源也做了一定程度的分析.

在上述的案例中，课堂内知识生成过程中的小问题就能点燃学生探究数学的兴趣.爱因斯坦说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要.”课堂教学可以留给学生一个问题，引导学生自主探究，这里有一个前提的条件即教师本身要对数学问题有深刻的认识，并能在适当的时间提出问题从而激发学生对未尽知识进行探究的欲望，这是学生自我发展和完善的动力.学生学习的不应该仅仅是知识和方法，还有如何去探究未知的知识，切实弄清知识的“来龙去脉”.

二、 在教学意外处激发探究

在日常课堂教学中，使教师感到意外的事件经常发生，这些事件很多都是与学生的学习“另类”思维有关.如果教师在不经意间忽略了，会使学生的创新思维得不到培养和发展.所以，对于学生的另类思维，教师在日常教学中应该时时加以注意，因势利导，从而开拓学生思维模式，激发学生的探究意识，培养学生的探究能力.

这个时候，我感觉到这个问题处理得差不多了，因为学生从正反两个方面都给予了解答，正想转到下一个问题时，有一个学生提出一个“意外的问题”：

学生4：老师，他画图准确吗？万一不准确怎么办？

这个问题我原来也没有思考过，凭自己的直觉，学生的解法应该是没有问题的，但是如果参数再变化，函数及其反函数的图像还是有交点的，这个交点应该是直线y=x上，怎么证明呢？我稍思片刻，立即想到了一个办法.

老师：刚才这位同学提出的问题很有价值，随着底数的变化，函数及其反函数的交点是在变化的，这点我们可以通过几何画板来动态演示验证其正确性.那么请同学课后再仔细想想，什么情况下，交点一定在直线y=x？有没有交点不在直线y=x上的情形？

一段时间之后，班级里的一位学生给出了下面的结论：如果函数是一个增函数，那么该函数与其反函数的交点（如果存在的话）一定在直线y=x上.学生的结论不完整，缺少了函数为减函数的情形，这种情形讨论比较复杂.这次意外虽然打乱了正常的教学进程，但是如果能及时发现这些意外的探究价值，让学生对知识的理解在探究中得到升华.也许学生研究的方式方法比较稚嫩，但必定是将来学生开展科学研究的雏形.

三、 在实际应用中鼓励探究

关于数学应用之广泛，我国著名的数学家华罗庚教授在其著作《华罗庚科普著作选集》中指出[3]：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不有数学的贡献.”而我们的学生，在学习了10多年的数学，是否真正地体会到数学的作用？能否真正的数学地思考问题？ 在平常的课堂教学中，我经常鼓励学生要数学地思考实际生活的问题.

在苏教版《必修4》中，有关于港口水深的拓展探究内容，这个三角函数应用的一个较好的载体，因此我决定让学生自己来完成这个探究内容，探究的数学工具为几何画板的作图功能，在课余时间我特意辅导学生如何利用几何画板作图.

师：同学们，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

在上述问题的解决过程，我看到学生能够数学地思考问题，而且能够借助于信息技术手段去探究数学问题.如果学生能经常这样做，数学地思考问题的意识就会逐渐形成，这是实施素质教育的最有效途径之一，正如联合国教科文组织在《学会生存》一书也指出：“教师的职责现在已经越来越少地传授知识，而越来越多地激励思考.”

培养学生探究意识与能力的途径远不止这些，课堂内外、实际生活中处处有问题.这种能力的培养也不是一朝一夕之事，但只要教师具有培养学生探究的意识，找准探究问题的着力点，学生的探究意识与能力一定能发展好.