寻找高斯趣题与梯形面积公式的连接点

王建生

苏教版数学五年级上册第25页有这样一道探索题：小明参观钢铁厂时看到许多钢管堆成如右下图的形状。最上层有9根，最下层有16根，共有8层。可以用什么方法计算出这堆钢管一共有多少根呢？

教师用书上是这样建议的：可以先画出完整的截面示意图，让学生通过观察，明确这堆钢管排列的规律，然后让学生尝试着计算。学生用不同方法计算后，组织交流。在交流中，进一步启发学生想象：如果把两堆这样的钢管像两个完全一样的梯形拼成平行四边形那样合在一起，那么每层有几根，有几层？每层的根数可以怎样简便地计算出来？使学生领悟到可以用“（最上层根数+最底层根数）×层数÷2”来计算。至此，学生能很自然地把这一方法与梯形面积公式的推导过程联系起来，讨论教材中提出的问题也就水到渠成了。

对于教师用书上的建议，我非常赞成。但我进一步深入思考：为什么不是计算这个钢管堆的横截面面积，却同样可以用面积公式呢？钢管根数与面积大小之间到底有没有本质联系呢？如果我们能让学生通过自主探索发现计算钢管根数与面积大小之间的本质联系，那么学生对为什么可以这样计算钢管根数的理解是不是可以更深一层。

进一步来思考：该题的价值在于将梯形的面积公式应用于等差数列求和的计算，大大拓宽了梯形面积公式的使用价值。为此我想到了这样一些关键词：数学文化、课程资源、几何直观、数学建模。

教材中提供的是用梯形面积公式计算圆形钢管的根数这样一个实际问题，我想，如果把面积公式作为一个结论直接让学生去计算，如何运用或许没有问题，多出几道类似的问题，反复运用几次后学生一定会熟练起来，但怎么想到用面积公式这样一个几何图形的知识来解决钢管的根数这样一个与图形没有任何联系的问题的呢？这或许才是这一课探究的真正价值所在。为此我想要把两者联系起来，还需要通过一系列课程开发，丰富相应的课程资源，打通面积公式与计算圆形钢管根数之间的内在联系，于是我尝试设计了如下一些问题：

（1）下图中每个小正方形的面积是1平方厘米，图1的面积是多少平方厘米？图2呢？这两个图形的形状不同，为什么面积一样？

（2）图3中每个小正方形的面积是1平方厘米，整个图形的面积是多少平方厘米？怎么算有多少个小正方形？（要求有多少个小正方形，可以用这样的算式：1+2+3+4+5+6。）

（3）在第（2）题的基础上进行变形（如图4）。图4的面积是多少？追问：图4的形状变了，为什么面积没变？

（突出虽然形状变了，但是小正方形的个数没有变，所以图形的面积没有变。）

（4）在第4题的基础上进一步变形（如图5）。如果一个小圆圈的面积是1平方厘米，那么图5的面积是多少平方厘米？

（由正方形变成圆形，总个数不变，面积单位没变，总面积也不变。）

然后出示高斯趣题：1+2+3+4+…+97+98+99+100=？

怎么算？为什么能这样算？你能结合图形给予解释吗？

学生都能想到用（1+100）×100÷2=101×100÷2=5050。理由是根据梯形的面积计算公式，用（上底+下底）×高÷2=梯形的面积。

用图形来解释就是相当于这样一个梯形，上底是1个小圆圈，下底是100个小圆圈，一共有100层高（如图6）。

到此我没有结束探究，而是继续深入。

（5）图7的面积可以怎么求？（1个小正方形的面积是1平方厘米）还有没有其他不同的求法？如果把图7变成图8，你准备怎么求？

如果是1+3+5+…+95+97+99=？你准备怎么求？为什么？

（6）体育运动节，学校准备大型队列表演，有一个队列是这样设计的（如图9），你能求出参加表演的一共有多少人吗？如果让你设计，还可以变换成哪些队列图形？试着画一个。

教学反思

新课程标准提出了一个新的关键词——几何直观，用直观的几何来帮助学生理解、建构抽象的数学公式，使抽象的和=（首项+末项）×项数÷2与面积=（上底+下底）×高÷2建立起实质性的联系。弗赖登塔尔指出：“学习数学唯一正确的方法是再创造。”认知主义心理学认为：“学生对任何一个新知的学习都是基于其原有经验基础上的一种自主建构。”建构主义认为：“学习数学就是在学习建模。”要真正建立起学生能够理解的“和=（首项+末项）×项数÷2”模型，必须与梯形这一直观图形建立起实质性的联系，这样学生才能创造出属于自己的能够理解的“和=（首项+末项）×项数÷2”。

由此我想到数学文化。数学文化体现在“和=（首项+末项）×项数÷2”这样一个抽象的数学模型上，它不是冷酷无情的，而是具有悠久的历史文化背景的。高斯趣题是许多学生耳熟能详的数学故事，我们在讲解这样的故事时，往往被数学家聪明的头脑所吸引，而忽视了积极思考、勤于探索的过程，更忽视了探索过程中可能遇到的挫折，好像数学家的成功完完全全依靠自己的天资，而不是自己的努力。如果抱着这样的认识，那么介绍数学故事无疑是一种“我不能”的情感体验，不能树立学生数学学习的信心。数学家是怎么想到这样的计算方法的呢？我们普通人能不能通过自己的努力也获得这样的方法呢？如果通过合适的教学设计，能让学生体验、感受到像数学家那样的成功，那么这就是优质教学的魅力，也是数学文化的魅力所在。

我想到了几何直观。我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时难具体，形缺数时难入微。”数学是有关数与形的学科，数与形是数学发展的两翼，只有两者互相依靠、和谐发展，才能使数学学习飞得更高、更远。而新课程标准强调的几何直观，或许就是要求我们充分利用数学学习中数与形的两种不同功能，因为数学的本质是抽象，而学生的年龄特点是形象，几何直观可以成为抽象与形象之间的桥梁。等差数列的求和公式对于小学生来说是很抽象的，但如果能与梯形的面积公式建立起实质性的联系，那么抽象的公式就有了几何直观的形象支撑，对抽象公式的灵活运用就不再那么无依无靠。

我想到了课程资源。当今社会是信息化的，为我们的课堂教学提供了非常丰富的课程资源，许多要用的资料只要到网上查一查，就可以轻易获取，作为教师首先要有合理取舍的意识与能力。同时教学手段的现代化，可以帮助我们制作出一些我们所需要的直观图，通过观察、思考这样的直观图，学生就容易抓住知识间的本质联系。教师的作用就是为学生的探索与实践提供丰富而有吸引力的课程资源，让学生的探索与实践变得简单而富有意义。随着教师的职业不断走向专业化，对教师本体性知识的要求也在不断提高，作为一个优秀的数学教师必须有优秀的数学素养。面对一个数学知识，学生或许只能看到一个点、一块石，但教师必须看到一张网、一座山。

我想到了数学建模，学习数学就是学习如何建模，但如何帮助学生构建起属于自己能够理解的“模”，必须基于学生原有的知识经验基础，因为任何有意义的建构都必须找到其建模的生长点。建模应该是意义上的自然生长，而不是形式上的生拉硬扯，建立模型的外形或许不难，但模型内涵的建立需要遵循一定的路径，不能操之过急。

数学学习过程中，学生不可能有老师那么丰富的知识背景，能够站在一定的高度来俯视等差数列的求和方法与梯形面积公式之间的本质联系，而老师开发的丰富的课程资源不但可以充分发挥几何直观在解决等差数列求和问题时的作用，便于学生充分内生、内化等差数列的求和模型，同时也领略了数学知识本身之间的内在关联，感受到数学文化的魅力，更能发现自己也能像伟大的数学家那样创造出自己的数学，用自己理解的数学解决、解释生活问题，从而满足自我现实的心理愿望。