小问题 大思想

马志峰

摘 要：化归不仅是一种重要的解题思想，更是一种有效的数学思维方式。只有善于对所要解决的问题进行变换转化，才能使问题得到解决。

关键词：隔板法；化归思想；解决问题

在课堂中如何做到由浅到深、用化归思想转化为基本问题来解决的教学一直是我们所要探索的。

在此通过以下几个问题来探究：

问题1（基本问题）：9个相同的小球放到3个不同盒子里，每个盒子至少一个球，有多少种不同的放法？

解析：把3个盒子看作由平行的4个隔板组成的。每一个满足要求的放法都相当于9个小球和4个隔板的一个排列，其中两个隔板在两头，任何两个隔板之间至少有一个球（即任何两个隔板不相邻），把两头的两个隔板拿掉，每一个满足要求的放法还相当于在排成一列的9个小球间的8个空档中插入2个隔板，不同的放球方法即插隔的方法，共有C28=28种。

反思与总结：隔板法应用了对应的方法，应用此法的前提是小球完全相同（不加区分），盒子是不同的，每个盒子至少一个球。简言之，隔板法可以看成是相同元素分给不同对象，每个对象至少分到一个元素的问题解法。

问题2（变式与推广）：9个相同的小球，放入3个盒子中，每个盒子至少放2个球，有多少种不同的放法？

解析：先在3个盒子中各放一球，化归为把6个球放入3个盒子中，每个盒子至少放一个。答案是：C25=10。

反思与总结：问题的解决主要是用了化归的思想——“至少两个”化归为“至少一个”，这样就可以转化为基本问题来解决。该题还可以改编为如下：

例1.9个相同的小球分到编号为l、2、3的三个盒子里，每个盒子分的球数不少于其编号数，有多少种不同的分法？

解析：先在2号盒放一个球，3号盒放2个球；问题就转化为6个球放入3个不同盒子，每个盒子至少一球。用隔板法，可求得分法种数为C25=10。

例2.9个相同的小球放入编号为l、2、3的三个盒子中，问不同的放法有多少种？

解析：先给每个小盒放入一个球，题目中给定的9个小球任意装，问题就转化为12个小球装入3个不同的盒子，每个盒子至少一球的装法有C211=55种。

问题3（深化提高）：（1）方程x1+x2+x3+x4=10的正整数解有多少组？（2）方程x1+x2+x3+x4=10的非负整数解有多少组？

解析：（1）原方程的正整数解可以理解为10个“1”分给x1、x2、x3、x4，每个至少有一个“1”，即可转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有C39=84种，所以该方程有84组正整数解。

（2）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为14个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有C313=286种，所以该方程有286组非负整数解。

例3.A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={1，2，3，4，5，6}，满足条件f（a1）≤f（a2）≤f（a3）≤f（a4）≤f（a5）的映射f的个数是多少？

解析：按映射f的象集元素个数分为5类：

（1）象集恰有5个元素时，有C56个映射；

（2）象集恰有4个元素时（即恰有1个等号成立），从B中取4个元素，有C46种方法，再将集合A中的5个元素按下标由小到大的顺序分为4组，即a1，a2，a3，a4，a5的中间的4个空档插入3个隔板，有C34种分组方法（这4组分别记为第1，2，3，4组），从B中取出的4个元素按由小到大的顺序分别与第1、2、3、4组相對应。所以共有C46·C34个映射；

（3）象集恰有3个元素时（即恰有两个等号成立），同理有C46·C24个映射；

（4）象集恰有2个元素时（即恰有3个等号成立），同理有C46·C14个映射；

（5）象集恰有1个元素时，同理有C16个映射；

由分类计数原理，映射f的个数为C56+C46·C34·C24+C26·C14+C16=C510。

我们若以“问题，探究，交流，反思”为主线的探究性课堂教学，让学生在“在实际中探索，在探索中反思，在反思中创造”，一节课就会比单纯枯燥的教学好很多！

参考文献：

[1]孙传利.数学教学中渗透化归思想[J].中学生数理化，2006（07）.

[2]金晓明.化归思想在初中数学中的渗透[J].科学大众，2009（05）.

[3]王晗宁.数学思想对教学的启示[J].现代商贸工业，2009（16）.

（作者单位 江西省广丰中学）