利用定积分证明不等式

王小林

摘要：在中学和大学的教学中，关于不等式的证明方法，已有较多的人做了研究，较详细地介绍了证明不等式的若干种常用的方法，笔者在教学中发现，结合利用定积分的几何意义和平面图形的面积大小关系，来证明某些不等式，学生更容易理解，证明过程也更简单。

关键词：定积分；证明；不等式

利用定积分证明不等式，主要是利用定积分的几何意义和平面图形的面积大小关系建立不等关系，进而证明不等式。

一、用定积分证明代数不等式

例1.证明x>0时，■<1n（1+x）

原高等数学教材中通常利用拉格朗日中值定理来证明这个不等式，方法如下：

证明：首先取函数f（x）=1n（1+x），并取闭区间[0，x]

显然f（x）在[0，x]上满足拉格朗日中值定理的条件

于是有f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0<ξ

因为f（0）=0，f′（x）=■故上式即为

1n（1+x）=■（0<ξ

由于0<ξ

x>0时，■<1n（1+x）

对上述证明过程，部分数学基础较差的学生总是觉得难于理解，为什么要取函数f（x）=1n（1+x），并取闭区间[0，x]，使用拉格朗日中值定理得出的结论还要作替换才能找到不等关系。

二、用定积分证明数列不等式

例2.求证1+■+■+…+■<2-■（n∈N，n≥2）

证明：函数y=■（x>0）是单调递减的函数，其图形如图1所示，在曲线y=■上取两点C（k，■）和Dk+1，■，再分别过这两点引x轴的垂线，观察图形，矩形ABDE的面积<梯形ABDC的面积，AB=1，BD=■，于是

■<■■dx<（k=1，2，…n-1）

上面各式两边相加得到■+■+■+…+■<■■dx

所以■+■+■+…+■<-■+1，

故1+■+■+■+…+■<2-■

事實上，对函数y=■（x>0，P>0，且P≠1）来说，具有与图1类似的图形，

矩形ABDE的面积<梯形ABDC的面积<梯形ABDC的面积，

于是有不等式■<■■<■■+■，（k=1，2，3…，n-1）

以上各式两边相加，并记1+■+■+…+■=Sn，得到，

Sn-1<■x-pdx<■（2Sn-1-■），

Sn<■（n1-p-p）<■（1-■）+Sn，

当p=2时，就证明了例题2

当p=■时得不等式2■-1<■-■+Sn，于是Sn>2■+■-1■，由于n>1，■+■-1■>0

于是得不等式1+■+■+…+■>■（n>1）

三、利用函数y=xp-1（x>0，p>1）的定积分，来证明著名的Young不等式

例3.设a≥0，b≥0，■+■=1即（q=■），则有ab≤■+■（p>1）

证明：函数y=xp-1（p>1）在x>0时是单调递增的（如图2所示）

取x轴上点A（a，0），y轴上点B（0，b），

过点A引x轴的垂线，交曲线于y=xp-1于E，

过点B引y轴的垂线，交曲线于y=xp-1于D，

交线段AE于C，则矩形OACB的面积≤曲边梯形OAE的面积+曲边梯形ODB的面积，

又由y=xp-1得x=y■

于是ab≤■xp-1dx+■y■dy

积分得，ab≤■+■b■，而q=■

所以ab≤■+■

特别地，取p=q=2，得到a2+b2≥2ab。

参考文献：

1.《高等数学》（工程类），陈如邦，高等教育出版社，2011年5月

2.《数学分析》，吉米多维奇

3.《试论解数学题中的转化》，陈志云，数学通讯，1990年12月

【责编 张伟飞】