数形结合在提高高职学生数学素养方面的探究

杨 宏

摘 要：数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷高效，且开拓解题思路。运用数形结合思想，引导学生发散思维，提高他们的创新思维和能力，为以后进入社会灵活地处理问题打下基础。

关键词：数形结合；数学素养；职业生涯

数学中“数”与“形”的矛盾统一是数学发展中的一条主线，使数学在实践中应用更加广泛和深远。一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷高效，还开拓了解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要途径。数形结合是一种效率高的解题方法，更作为一种重要的数学思想，深刻影响学生职业生涯。

一、利用数形结合引导学生理解数学概念完整化、定理精确化

高职数学中的许多概念都是利用抽象的数学语言给予形式化的精确描述，由于这种描述高度抽象，初学者很难理解它的含意，特别是对高职学生来说，他们的数学基础差，对数学有恐惧感，不喜欢数学，在这种情况下对数学概念不加理解地死记硬背，很难掌握应用。在教学中可利用数形结合来引导学生，以加深对基本概念的理解。

函数有界性的定义是最难被学生理解的，如果淡化文字描述，而采用图形展示更易理解。有界性的定义是：当X∈I，存在正常数M，使得≤M，那么则称f（x）在区间I上有界；如果这样的M不存在，则称f（x）在区间I上无界。利用数形结合法来理解主要是借助它的几何意义。有界性的几何意义是：存在两条水平的直线y=c，y=d使得f（x）在区间I上有界；反之，如果这样的水平直线不存在则无界。如图所示：

图1.函数的有界性 图2.极值的充分条件

高职数学中有些重要定理也比较抽象，例如，函数的极值及其求法是高职数学中的重要内容，即极值的第一充分条件：设函数f（x）在x0处连续，且在x0的某去心领域U（x0，δ）内可导。

（1）若x∈（x0-δ，x0）时，f ′（x0）>0，而x∈（x0，x0+δ）时，f ′（x）>0，则f（x）在x0处取得极大值。

（2）若x∈（x0-δ，x0）时，f ′（x0）<0，而x∈（x0，x0+δ）时，f ′（x0）>0， f（x）在x0处取得极小值。

（3）若x∈U（x0，δ）时，f ′（x）的符号保持不变，则f（x）在x0处没有极值。

只根据定理本身理解且掌握并不容易，这时数形结合的思想的重要性就体现出来了。我们可以根据定理将f（x）的图象画出，对极值的第一充分条件获得准确而深入的理解，在（1）中，当x∈（x0-δ，x0）时，f ′（x0）>0，由函数的导数与单调性的关系可知f（x）在区间 （x0-δ，x0）上单调递减，同理在（x0，x0+δ）上单调递增，由此我们画出 大致的图象，根据函数图象，可以对这一定理有直观的理解。在x0的领域U内的任一x有f（x）

可见运用数形结合的思想，引导学生观察、分析、抽象概括得出结论，不仅加深了学生对定理的理解，而且让学生体验到数学思想的奥妙无穷、探索的神奇和发现的喜悦，这极大地提高学生学习数学的兴趣，同时也会潜移默化地提高学生的数学素质和创造能力。

二、利用数形结合引导学生巧妙解题

在数学解题过程中，有些问题只考虑数或形，虽然能解决，但有时过于繁杂，甚至很困难。若根据问题的条件与结论，既分析其代数式的含义，又考虑其几何意义，使数量关系与空间形式巧妙而和谐的结合起来，充分利用这种结合，寻求解题方法，便能使学生容易下手，提高解题效率。

例1：判断函数y=1gx与函数y=sinx交点个数

分析：本题无法通过求解值得到答案。但如果利用数形结合，在同一个坐标系中作出函数y=1gx与y=sinx的图象，从图中很清楚地发现有3个交点。如图所示：

图3.图形解题一 图4.图形结合解题二

例2：求函数f（x）=当x→0时，f（x）的极限？

分析：由题意得：f（x）的左极限为：==1

f（x）的右极限为：==1

≠，所以x→0时，f（x）的极限不存在。

若根据函数图象，很容易发现f（x）没有极限。

从以上例子可以发现在数学解题中，利用数形结合可以简化解题步骤，降低解题难度。根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，化为几何问题，可以使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，更便于学生探求解题思路或找到问题的结论。

三、利用数形结合引导学生职业生涯成长

从上面各种数形结合的举例中我们可以看出，充分抓住数与形的内在联系去探索问题，可以加深对问题内涵的理解。使抽象、复杂的数学问题变得形象、直观，能够化繁为简，降低解题难度，对提高学生分析问题和解决问题的能力很有帮助。数形结合的思想需要渗透在学习新知识和运用已学知识解决问题的过程之中。努力提高高职数学的教学质量，为高职学生提供长远发展所必需的、够用的数学基础知识，为他们学好专业知识铺平道路、打下基础。作为援藏举措，我校开设了相关专业的西藏班级，这些学生的汉语基础不太好，对数学概念的理解不彻底。针对这些学生的特点，借助数形结合的方法，引导他们接受数学，慢慢学习数学知识。根据教学内容综合运用多种教学手段，改革教学方式，来培养学生的思维能力、创新能力。引导学生立足职业生涯进行更深层次的思考，让学生轻松有趣地学、目的明确地学，为以后的工作生活打下基础。

参考文献：

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