对小学数学教学中抽象概括的思考

李国瑞

[摘 要] 从方法论和学习心理学的角度来看待我们的小学数学教学，有助于我们的教学能够超越经验层面，从实质上对教学进行把握. 所以本文以抽象概括为例，谈谈对小学数学教学的思考.

[关键词] 小学数学；抽象思维；思考

有人说，数学是思维的体操！笔者以为这句话非常有道理，因为数学在研究“数”与“形”的过程中，不是完全依靠经验，而是依靠思维.

在小学数学教学中我们常常发现，教学如果离开了对思维的分析，那有效的学习就难以真正发生，我们又注意到，有时不能完全局限于“学生的思维是形象思维”的认识，也就是说，我们不能完全将小学教学看做是建立在形象思维的基础上，而应该同时看到小学生在学习数学过程中，充满着大量的抽象思维. 在这些思维过程中，学生又会运用到多种思维方法，这些方法既属于方法论，也属于学习心理学.

因此，笔者以为，从方法论和学习心理学的角度来看待我们的小学数学教学，也有助于我们的教学能够超越经验层面，从实质上对教学进行把握. 现以抽象概括为例，谈谈对小学数学教学的一点思考.

小学数学教学中抽象概括的基本含义

根据有关专家的研究，抽象与概括是隶属于思维过程和科学方法两个维度的内容，无论是小学阶段的数学学习，还是人们在生活中认识相关事物，如果缺少了抽象和概括两个思维过程，那人们认识到的就只可能是事物的表面现象，而不可能把握到事物的实质. 也就是说，抽象与概括是数学思维的基本要素. 尽管在小学数学教学中，很多时候还要依靠学生的生活经验，但这并不意味着就应忽视对抽象与概括的研究.

从定义上看，抽象是通过思维加工，透过事物表面现象寻找事物本质的过程，是一个去除事物中无关因素，寻找本质因素的过程；而概括则是将对个体事物抽象的结果进行综合的过程，通过对多个个体抽象后的综合，寻找同种性质事物的共同属性. 如果说抽象可以寻找到一个小范围内对象的事物本质的话，那概括则可以寻求到一个大范围内的事物本质，还有将概括的结果推理到其他事物的功能，这样，客观上就推进了人们认识事物的进程. 从而，抽象与概括也就成了人们认识事物过程的重要方法.

小学数学学习作为整个数学学习过程的第一个重要阶段，其研究对象是人们所共知的数量关系与空间形式，从最终的描述对象上来看，是十分抽象的内容. 在实际教学中，我们经常看到学生因抽象和概括能力不够出现学习困难的情形. 而纵观数学发展史，其从公理出发建立的一系列数学概念和数学规律均是逻辑推理的结果，因此逻辑推理是数学学习的一根极其明显的主线. 而逻辑推理是建立在学生的逻辑思维能力基础之上的，抽象概括能力又是逻辑思维能力的基础与核心，这就说明小学数学教学必须加强抽象与概括思维方法的教学.

在确定了这一策略之后，教师必须意识到抽象与概括的关系：抽象是概括的基础，概括是抽象的延伸. 因此，对于小学数学教学而言，首先要根据小学生的认知特点选择合适的数学材料，让学生通过思维加工完成抽象的过程，然后选择适合学生思维特点的内容让学生进行概括. 这一过程极其考验教师的教学本领，因为要发掘数学思维材料并不难，难的是要判断是否符合小学生的认知特点，也就是说，教师不但要有因材施教的意识，还要有因材施教的能力.

小学数学教学中培养学生抽象与概括能力的实施

认识到抽象与概括能力培养的重要性，下面的问题就是如何实施的问题了. 我们注意到，有经验的教师擅长在课堂上恰到好处地让学生进行抽象和概括. 通过分析这些教师的教学经验，结合对有关理论的学习，基于自身的实践与探索，笔者提出如下一些思路供同行们批评指正.

首先，要让学生的抽象和概括有据可依. 抽象和概括的本质是学生的思维过程，而学生的思维却需要实际的载体，从学习心理学的角度讲，这种思维的载体必须来自于学生对数学思维材料的认识. 因此，要想培养学生的抽象概括能力，就必须给学生提供充足的数学材料.

例如，在乘法教学的过程中，我们可以通过向学生陈列数个看起来不同的问题，让学生思考. 如：

小明到商店买本子，一本本子1元钱，买10本需要付多少钱？

小华的妈妈在工厂里上班，按小时结算工资，每小时7元，则一天工作8小时能得多少钱？

小芳乘长途汽车去外婆家，汽车每小时行驶60千米，则3小时汽车走了多少千米？

对于小学生而言，这样的问题并不算太难，但由于小学生思维能力的限制，他们中的大部分有可能认为这是互不相干的问题，因此对这三个问题的解决只是本教学环节的基础. 在此基础上，教师可以展开两个重要过程.

一是让学生基于三个问题进行分析进而抽象，认识到三个计算过程分别是：单价×数量=总额、每小时工资×小时数=日工资、速度×时间=路程. 这个过程是十分重要的，是将学生的思维由具体的事物引向抽象的公式. 事实证明，学生的抽象能力可以在类似的教学过程中逐步培养. 也就是说，如果在实际教学中我们忽视了这一过程的话，学生的抽象思维能力将难以得到有效培养.

二是让学生在上述基础上进行概括——认识到三者的计算思路都是：A×B=C. 显然，这个概括的过程也是非常必要的，可引导学生将这三个看起来不同的问题概括成一个相同的实质，这正是概括的魅力所在. 我们认为，这两个过程是本学习环节的核心，也是数学方法教学的关键所在.

其次，要注意抽象与概括的准确性与合理性. 学生的抽象能力和概括能力是有限的，因而学生的自主抽象与概括往往会出现一些不准确与不合理的地方，这时就需要教师及时进行适当的指导. 当然，教师必须意识到这对于小学而言是一种正常现象，我们要求的不是学生一下子就能抽象或概括出准确的答案，而是让学生形成一种内在的抽象概括意识，形成一种初步的抽象和概括能力.

例如，我们生活中常说的“以偏概全”所指的错误，与小学生在数学学习中常犯的错误就非常类似. 如，对于偶数与合数的关系，学生在初学阶段往往会认为所有的偶数都是合数. 对于学生的这一概括，我们首先应该表扬，表扬其中的合理成分. 说实话，如果学生能够自主概括出这一结论，应当说学生已经具有一定的概括能力. 但其中的不合理之处就是因为“2”这个特例，事实上，当我们将这个特例提供给学生时，自主概括出上述结论的学生往往会有一种恍然大悟的感觉，这在我们看来就是学习中的一种高峰体验. 在这种体验当中，积极思考的学生往往能够扩充自己的思维范围，增加对知识掌握的精确性.

再次，要注意抽象和概括能力培养的契机. 教学契机的把握非常重要，同样一个教学内容，同样一个教学环节，如果学生的接受能力较强，对于基本知识的理解就非常轻松，此时对于这个班的学生而言，教师就有可能将其提升到方法教学的高度；而如果学生的接受能力较弱，对于基本知识的理解比较吃力或者说已经付出了相当的努力，这个时候就不宜从知识层面提升到方法层面. 抽象与概括能力的教学也是如此. 在实际教学中，我们要注意观察学生的学习情况，看学生的努力程度如何，然后进行教学选择.

另外，对于能够实施包括抽象、概括、方法在内的教学而言，也要注意火候的把握. 我国的教学强调“不愤不启，不悱不发”，实际上就是强调教学实施的时机. 根据我们的教学经验，抽象概括的教学时机往往出现在学生对教师提供的数学材料有了充足加工的基础上，出现在学生思维中已有朦胧或隐约的抽象意识基础上，当教师观察到学生欲言又止、欲罢不能，眼中充满渴望但口头却不能表达时，教师就可以将学生的思维由知识引向方法，先建立抽象感觉，再进行适度概括. 于是，一个抽象概括的教学过程就产生了.

对小学数学教学中抽象概括能力培养的浅思

作为一种对思维要求较高的能力培养，抽象概括在传统小学数学教学中，在教材编写和练习中往往都是渗透在学习过程中的，这种隐性的教学方式可以让学生形成抽象概括的初步能力，但不利于形成良好的意识. 因此，适度进行显性的教学，尤其是选择相对简单的知识点进行显性教学，有助于学生更好地理解数学知识形成的过程，有助于后面较为复杂的数学知识的学习.

需要强调的是，包括抽象与概括在内的思维能力的培养，离不开具体的数学案例，而案例往往又存在优劣之分，因此教师选择适合小学生思维实际的材料来培养学生的思维能力，本身就是一件相当有挑战性的事情. 这就需要我们在日常教学中以判断性、批判性的心理去看待教材和有关资料，而不是照搬照用. 尤其是对于教材上的材料，更多的需要判断性，即思考编者为什么会做出这样的安排，其中的道理在哪里. 只有这样，才能促进我们教学水平的不断提高.