二项式定理在解决数列问题中的应用

钟晓庆

二项式定理涉及项数、系数、指数等方面的规律和联系.一般来说，解决二项式定理问题相对独立，主要包括求展开式中的相关项，求二项式系数或系数和，系数的最大项，处理整除问题以及简单的放缩法证明等等.我们会发现，这类问题往往与数列的思想方法密切关联，本文结合具体例题加以分析，以进一步促进学生思维的灵活性，透彻地理解知识间的内部联系，这也是高中数学的基本要求之一.

上述解法用了数列中我们经常使用的“倒序相加法”，组合数前的系数满足等差数列的特征，又因为组合数的对称性Cmn=Cn-mn，因此我们联想到等差数列{an}具有的性质：若m+n=p+q则am+an=ap+aq，由此结合这两个性质，符合了数列中用“倒序相加法”来求和的相关特点，从而顺利解答此类问题.我们回顾例1可发现，其实亦可用此法解决，只是因为系数是公差为1的等差数列，又正好可以看做xn的指数，所以也可用求导的方式解决.

本题以二项式系数为背景，第一小问仍是研究通项，第二小问与等差数列相结合，属于存在性问题，但研究的是所有存在的情况，利用求根公式探究n存在形式的特点，最终根据范围找出所有取值情况及个数，知识融合度高，处理方式较为灵活.

上述解题实际上是二项式定理的逆用，事实上观察二项式展开后的结构特征，会发现跟等比数列联系较大，当x=1时，An的化简用了数列中“倒序相加”的方式，推广可得，对任意一个等差数列 {an}，形如a1C0n+a2C1n+a3C2n+…+an+1Cnn的代数式都可以用“倒序相加法”结合组合数的对称性Cmn=Cn-mn解决.

综上所述，二项式定理作为选修内容的重点，是高考中的难点，这部分内容除了对基本题型要熟练掌握外，还需透彻地理解思想方法，它与数列的综合应用也是值得我们多探究多深入思考的课题.

（作者单位 江苏省海门实验学校）