高中物理中变力做功问题的积分解法

邓希文

摘 要： 本文运用定积分的方法对高中物理中变动做功的三种常见问题：水池抽水做功问题、弹簧压缩或伸长做功问题、气体压缩或膨胀做功问题进行了分析与求解，并对解题方法进行了推广，希望能为此类问题的解决提供相应参考。

关键词： 高中物理教学 变力 做功 定积分

一、引言

在高中物理中，有时会碰到一些变力做功的问题，这些问题通常不能按一般的恒力做功的方法进行求解，但可以利用微积分法巧妙地进行解决。

用积分解决物理问题，一般都要先建立适当的坐标系。如下图1所示，设有方向指向ox轴正方向的变力f（x），当某物体在该力作用下从点x+△x移动到点时，可以认为力所做的功为△w≈f（x）△x，当把△x看做无穷小量时dx时，就得到功的微分形式为dw=f（x）dx，而物体在变力作用f（x）下，从点a移动到点b时，变力f（x）所做的功可以表示为：

二、变力做功的几种情况

（一）水池抽水做功问题

这类问题常常容易犯错，很多人常用恒力做功的方法分析，即用水的重力与水深之积求所做之功。但仔细分析，这种方法明显是错误的，如果我们将水垂直分成为很多微分层，则每个微分层的水移动的距离应该是不相等的，因此不能采用常用的恒力做功的方法进行计算，但可以采用微分法进行计算。下面讲一个简单的例子。

要把其抽到蓄水池口所做的功可表示为：

因此，根据积分公式，将蓄水池中30米深的水全部抽出池口需要做的总功为：

因此，对于这类问题，我们不能按常用恒力做功方式进行求解，必须换一种方式，利用微分方法求解较简便。同时，我们可以将此类问题进一步推广到求水中取物所做的功，其原理基本类似，方法类似。

（二）弹簧压缩或伸长做功问题

弹簧在压缩或伸长的过程中，其弹力会连续不断地变化，因此，如何求弹簧压缩或伸长所做的功，这就需要用到变力做功的积分法？

例2：如果10N（牛）的力可以使弹簧伸长20cm，求在弹性范围内使该弹簧伸长30cm所要做的功是多少？

我们可以进一步推广，在弹性范围内，弹簧从平衡位置压缩或拉伸a长（单位：m）所需要做的功为：

另外，我们还可以将此类问题推广到非均匀电场做功的计算，即求变电场对处在其中的带电粒子移动距离所做的功。其公式可以总结如下：

（1）假设在一带电量为+Q的点电荷（选其坐标为ox轴原点）的电场中有一点电荷+q在该电场中从坐标a处移动到b处。其电场所做的功可以表示为：

（2）若将上述点电荷+q从坐标a处移动到无穷远处，则其电场所做的功可以表示为：

（三）气体压缩或膨胀做功问题

封闭容器（或气缸）中的气体膨胀或压缩时，随着气体压强的连续变化，从而使得作用在活塞上的压力也必将不断变化，为了平衡活塞，在压缩气体时要一个外加压力推动活塞对容器（或气缸）内气体做功，或在气体膨胀时将推动活塞来做功，那么，如何求所做的功呢？这是一个典型的变动做功的问题，我们可以借助积分法进行求解。

解：在正圆柱气缸的气体（见图3），根据波义耳定律，若温度不变时，则PV=C（常数），P表示压强，V表示缸内气体体积，由题意得：

设正圆柱气缸内的蒸汽被压缩的长度表示为x（m），那么

因此，要使蒸汽的体积减小一半，需要做的功为：

我们可以进一步进行推广，若将气体从坐标a点压缩到坐标b点，其所做的功为：

三、结语

运用定积分解决变力做功问题在高中物理中有特定的意义，它为变力做功提供了很好的思路，当我们遇到变力做功问题时，在实际解题时可以采用积分方法进行相应的分析和解答。

参考文献：

[1]王思思.浅析变力做功的求法[J].学周刊，2011，（27）.

[2]田索海.浅谈变力做功的求解方法[J].学周刊，2011，（28）.

[3]蒋海涛.弹簧作功问题研究[J].科教文汇（上旬刊），2007，（1）.