新课程下的立体几何复习方法探索

耿发文

摘要：新旧教材在内容、考试要求、教学重点难点等方面都有明显的差异。数学教师应对新课程形式下的高考试题特点进行研究探索，制定相应的复习策略。本文就空间角与距离的解法谈谈设想和思考。

关键词：新课程；空间；转化；向量

数学在新课程下的高考试题，对立体几何的考查一直是以能力为主，对能力考查的要求有一年比一年提高的趋势，题型也相对较为稳定。但新旧课程在内容、考试要求、教学要求、教材的编排体系等方面都有相当大的改变，因此我们进行立体几何复习时，有必要对新旧教材在内容、考试要求、教学重点难点，以及近几年来的新旧课程的高考试题特点等进行研究，制定相应的复习策略，争取来年高考中获得全面丰收。

一、新旧教材比较

在考试内容方面：新教材中删除了棱台，旋转体（圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等）。增加了正多面体与欧拉定理；增加了空间向量及其加、减法，与数乘运算；空间向量的数量积；空间向量的坐标表示，及其对应的加减法，数乘与数量积运算；平面法向量等内容。

在考试要求方面：删除了棱台，旋转体（圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等）的面积与体积公式，淡化了三垂线定理及其逆定理的要求，增加了理解空间向量与空间向量坐标的概念，掌握空间向量的加减法、数乘与数量积的概念及其对应坐标的加减法，与数乘运算等内容。突出了利用空间向量知识解决求空间角、空间距离。新考试在证明平行与垂直的问题上，明确了对传统几何的量化思想，同时也体现了解决问题方法的灵活性。重点让学生掌握向量代数法，同时也兼顾传统几何综合推理方法。

二、高考考点剖析

立体几何三大考点：

（1）空间角。

（2）空间距离。

（3）线面位置关系的推理判断（小题）、证明及计算（大题）。

线面位置关系突出平行和垂直，又侧重于垂直关系。因为空间直角坐标系的建立和空间角的平面角的构造与求解离不开垂直，空间距离也离不开垂直。考试时主要以三棱柱、四棱柱（正方体）、三棱锥、四棱锥为载体。与球有关的问题也是高考常考点。立体几何大题不独立考查单纯的线面位置关系，而明确以多面体为载体，综合考查概念、性质、线线关系等。

三、考题特点分析

每年的数学高考立体几何题中，有2～3道选择题，1道填空题及1道解答题。分值占全卷的18%～20%。考题属于“理解”和“掌握”这两个层次，难度中等，试题常有课本背景。总结历年来新教材高考卷与全国高考卷的立体几何题可以看到以下几个特点。

1.新教材立体几何试题中大题以棱柱或棱锥为载体，融线面关系于几何体中。继续采取传统的小步设问、逐层加深的模式。第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后几问考查空间角，空间距离等度量关系。解题方法是向量代数法，其解题思路：建立坐标系——求向量坐标——用公式计算。旧教材相对稳定。

2.在考查空间概念的基础上，强调作图、证明和计算相结合，融推理论证于几何量的计算中，逻辑思维能力、空间想象能力的考查存在于运算中。对空间想象能力的要求进一步提高，试题直接对空间想象能力的考查；立体几何证明试题需从不同的角度来观察图形，直接体现了对空间想象能力的考查。如，2007年天津高考卷第11题；2007年全国卷第16题。

3.重点考查基础知识的同时，也注重形式的多样性。如与简易逻辑、排列组合等小综合题型也常出现，这也是一种传统。如：2003年江苏卷第16题是与简易逻辑相关的题。

4.重视对数学素质的基本数学思想方法的考查；试题体现了立体几何学科特点的通性、通法，突出和加大了对转化、化归思想，类比思想及等积变化等基本方法的考查力度。

如：（2003年江苏卷第12题）一个四面体的所有棱长都为■，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A.3π B.4π C.3■π D.6π

此题的最优解法是：将这个正四面体放入一个正方体中，再将这个正方体放入球中与球相外接。因为正方体的对角线就是球的直径，而正四面体的棱就是正方体的侧面对角线。所以，设正方体的棱长为a，则有■a=■，a=1，∴2R=■a=■，∴R=■，S球=3π。故选A。此题是典型的考查转化、化归思想。

四、制定合理的复习计划

（一）复习重点

1.线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质；三垂线定理及其逆定理的应用；

2.空间向量的概念、性质与运用；

3.空间角与距离的概念和计算；

4.特殊棱柱、棱锥的定义、性质。

（二）棱柱、棱锥中线线、线面与面面的位置关系，线线、线面与面面所成角的构造与计算（特别注重向量代数法来计算角）复习建议

由于高考立体几何题是中低档题为主，所以在复习时一定要抓好基础。严抓解题的表述与书写的规范性。在传统的逻辑推理方法中的基本步骤是：“一作（作辅助线），二证明（如证明直线与平面所成的角），三求（求解角或距离等）”。在用向量代数法时，必须按照“一建系（建立空间直角坐标系），二求点的坐标，三求向量的坐标，四运用向量公式求解”。如在证明线面垂直时，应证线线垂直时，学生容易只证与平面内一条直线垂直就下结论，这里应强调证两条相交直线，缺一不可；用空间向量解决问题时，需要用建立坐标系时，一定要说清楚；用三垂线定理作二面角的平面角时，一定得点明斜线在平面上射影。书写解题过程的最后都必须写结题语。

在面积、体积计算中，要抓住基本图形的基本量，利用基本量可用方程思想处理计算问题。长方体的长、宽、高；正三棱锥的侧棱与底面边长；球的半径等等，这些基本量是列关系式的基本元素。

复习时，我们还应注重与球有关的问题。球内接长方体的对角线等于球的直径；球内接正四面体的棱长与球的直径的关系则可以通过相应的球内接正方体来作中间桥梁，即正四面体的棱长等于正方体的侧面对角线长。如2003年全国卷第12题便是考查这一点。球与截面的问题可类比于圆与弦的问题。

以上是笔者一些肤浅的看法，由于水平有限，不妥之处，敬请专家斧正。

参考文献：

1.高中数学教材《数学》第二册下册

2.《2010高中总复习导与练·理科数学》主编韩清海，张凤，民陕西人民出版社

3.《状元之路·数学B版》策划梁国顺，李利军，黄颖，北京教育出版社

【责编 闫 祥】