数学思想方法在数列解题中的应用

王幼兰

摘 要：数列问题涉及的基础知识、基本技能较广泛，也包含了几乎所有的数学思想.举例说明方程思想、函数思想、分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、转化与化归思想等几种数学思想方法在数列解题中的应用.

关键词：数学思想方法；数列；应用

数列问题是高中数学的重要内容，学生普遍认为是高中阶段数学内容较难学的章节之一，其涉及的基础知识、基本技能较广泛，也包含了几乎所有的数学思想.

数列是一种特殊的函数，解数列题时要注意运用函数与方程的思想方法，同时也要注意运用整体的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想等数学思想与方法去解题.以下是本人多年教学的一点体会，介绍一下常用的几种数学思想方法在数列解题中的应用.

一、方程思想

等差数列或等比数列的通项公式、前n项和公式中共含有五个量，如果已知其中的任意三个量，通过解方程（组）可求出其余的两个量.

例1.a1=20，an=54，Sn=999，求n与d.

解：∵Sn=■，即■=999，易得n=27

又an=a1+（n-1）d，即20+26d=54，d=■

∴n=27，d=■

此题虽然是一道基础题，但是却蕴涵着《数列》这一章基本知识点考查的基本解题方法——代基本公式，解方程求未知量.

二、函数思想

等差数列的求和公式是关于n的二次函数，所以解题时可借助二次函数的性质求解.

例2.等差数列{an}的通项公式an=2n-7，求前n项和Sn的最小值.

解：易知{an}为等差数列，∵an=2n-7 ∴a1=-5

Sn=■=■=n2-6n=（n-3）2-9

当n=3时，（Sn）min=-9

运用函数的观点，用求解二次函数最值时常用的方法，往往能让此类题目解起来较为容易.

三、分类讨论思想

等比数列的求和公式中分母出现了1-q，解题时要注意分q=1，或q≠1两种情况进行讨论.

例3.已知等比数列{an}中，a1=2，S3=6，求a3和q.

解：当q=1时，S3=3a1=6符合题意，此时a3=a1=2

当q≠1时，S3=■=■=6，解得q=-2

故a3=a1q2=2×（-2）2=8

综上所述，a3=2，q=1或a3=8，q=-2

此题很容易漏掉讨论q=1的情况，容易忽略了公式Sn=■是以分母不为零（q≠1）为前提的，如果没注意需要分情况讨论，极有可能出现漏解情况.

四、整体思想

解决数列问题有时候要有点整体意识、总揽全局，避开分别求解所带来的麻烦及思维的混乱，从而简化运算过程、减少运算量.

例4.等差数列{an}中，a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146，Sn=390，求这个数列的项数.

解：依题意得a1+a2+a3=34an-2+an-1+an=146

两式相加得：（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）=180

由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2得3（a1+an）=180

∴（a1+an）=60，又Sn=■？圯n=13

此题如果代基本公式求a1，d，n运算上会比较繁琐，把已知条件整体来考虑，运算过程更为简捷.

五、数形结合思想

数列是一种特殊的函数，解决函数问题我们经常运用数形结合思想，一些数列问题如果用数形结合的角度去考虑，也会使问题变得简捷.

例5.等差数列的前n项和Sn，Sm=Sn（m≠n），求Sm+n.

解：由数列的性质知，等差数列的前n项和Sn=An2+Bn，它可以看成是关于n的二次函数，令f（x）=Ax2+Bx，依题意有f（m）=f（n），结合图像，函数的对称轴为x=■，又f（0）=0，所以f（m+n）=0，即Sm+n=0.

此题含有的字母较多，不少学生可能一看就找不着思路，但如果有上面的函数意识及数形结合的思想，显然解题也是较简捷的.

六、转化与化归思想

所谓转化与化归思想，就是利用所学的知识去揭示新与旧，繁与简，抽象与具体，整体与局部等问题间的关系，通过等价转化，变未知为已知的探索过程.

例6.已知数列{an}中，an=2n-7，求a1+a2+…+a15

解：另an=2n-7>0，得n>■，即数列从第四项a4开始为正数

a1+a2+…+a15=-a1-a2-a3+a4+…+a15=-S3+（S15-S3）=S15-2S3

∵an=2n-7，a1=-5 ∴Sn=■=n2-6n

a1+a2+…+a15=（152-6×15）-2（32-6×3）=153

此题把绝对值求和这一未知知识转化为等差数列的求和运用，体现了变未知为已知的探索过程.

总之，学习数学不光是要会算，也不只是说要学会一些解题方法，更重要的是要学会数学思想，用数学思想来解决实际问题.作为教学者，在教学中随时引导学生、对学生进行这方面的培养，对提高学生的数学综合能力有及其重要的作用.

参考文献：

[1]周仁国.数学思想在数列问题中的体现.学生之友，2009（07）.

[2]任志鸿.高中同步测控：优化设计.人民教育出版社，2004.

（作者单位 福建省南安第一中学）

？誗编辑 司 楠