新课改下向量应用的探究

王超

摘 要：高中数学新教材增加了向量知识，向量具有几何和代数的双重形式和特征是沟通代数和几何的桥梁，为解决和处理中学数学中的问题增添新的方法，因此有必要理清向量与平面几何、三角、解析几何、立体几何、数学模型等的关系.

关键词：几何；解析几何；三角；模型

一、向量与平面几何的关系

平面几何是学习平面向量的重要载体，没有平面几何这一载体，学生很难理解平面向量的一些概念.同时由于向量可以用有向线段表示，这就为用向量解决平面几何问题创造了条件.牢牢把握向量与平面几何的关系，一方面应用向量加减法三角形法则与平行四边形法则、向量的模、向量的平行与垂直等几何意义解决问题；另一方面结合平面几何知识解决向量问题.

例1.（05年浙江高考题）已知向量a≠e，e=1，对任意t∈R，恒有a-te≥a-e，则（ ）

A.a⊥e B.a⊥（a-e） C.e⊥（a-e） D.（a+e）⊥（a-e）

解：如图1，设O，A为定点，■=a，■=e，■=te，t在变，te也在变，即点P为动点，但■=t■，恒有■∥■，故O，P，H三点共线.因而a-te表示■的模长，a-e表示■的模，对任意的t∈R，恒有a-te≥a-e成立，表示■≥■恒成立，所以恒有■⊥■，即e⊥（a-e），选C.

点评：解利用向量的减法的几何意义和向量平行的充要条件，运用数形结合、动静结合等思想把向量问题转化为几何问题，非常直观地找到了答案.

二、向量与解析几何的关系

由于向量的坐标化使向量与解析几何建立一定的联系，也改变了解析几何中的一些传统研究方法.由于向量内积的几何几何意义，即向量投影等概念，可以用来解决点到直线的距离.向量坐标表示方法使方程思想有了更广泛的应用，应用向量内积还可以解决两条直线夹角等问题，大大简化了解析几何中的计算.但值得一提的是新教材中定比分点定理和两条直线的夹角公式，它们是传统教材的难点问题，向量的引入可以废除这两个公式的“武功”，既减轻了学生的学习负担，又培养了综合应用数学的能力.

例2.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为■的直线交C于A、B两点，若■=4■，则曲线C的离心率为（ ）

A.■ B.■ C.■ D.■

解：设双曲线C：■-■=1的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率为■，知直线AB的倾斜角60°，∴∠BAD=60°，AD=■AB，

由双曲线的第二定义有：

AM-BN=AD=■（■-■）=■AB=■（■+■）.

又∵■=4■

∴■·3■=■■∴e=■.故选A.

评析结合了向量的模的几何意义和双曲线的知识解决问题.

三、向量与立体几何中的关系

在选修2-1引入了空间向量，它的引入为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具，将复杂繁琐的立体几何问题转化为简单的代数计算问题，进一步阐释了几何与代数之间的联系.

例3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.

（1）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；

（2）求点N到平面ACM的距离.

解：（1）如图2所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；设平面ACM的一个法向量n=（x，y，z），由n⊥■，n⊥■可得：

2x+4y=02y+2z=0，令z=1，则n=（2，-1，1）.设所求角为α，则sinα=■=■，

所以所求角的大小为arcsin■.

（2）由条件可得，AN⊥NC.在Rt△PAC中，PA2=PN·PC，所以PN=■，则NC=PC-PN=■，■=■，所以所求距离等于点P到平面ACM距离的■，设点P到平面ACM距离为h，则h=■=■，所以所求距离为■h=■.

点评：应用向量数量积的知识，将立体几何线面角转化为直线方向向量与法向量的夹角，点到面得距离转化■在平面法向量n的投影，充分应用了向量的几何意义.

四、向量与三角的关系

用向量方法可研究解析几何中两直线夹角问题，用向量方法还可研究三角形中有关角的计算（包括垂直问题）和三角公式、余弦定理的推导.与传统比较，向量方法简洁明了，构造思想对培养创新思维很有价值.向量作为一种新的运算工具，常常与三角结合起来，广泛应用于解决三角问题.

例4.（2010年四川高考题）（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

2由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

（Ⅱ）已知△ABC的面积S=■■·■=3，且cosB=■，求cosC.

解（1）①如图3，在直角坐标系xoy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为OX，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.

则P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））.

P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得

[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2

展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

②由①易得cos（■-α）=sinα，sinα（■-α）=cosα.

∴sin（α+β）=cos[■-（α+β）]=cos[（■-α）+（-β）]=sinαcosβ+cosαsinβ.

（2）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，

则S=■bc sinA=■■·■=bc cosA=3>0

∴A∈（0，■），cosA=3sinA.

又∵sin2A+cos2A=1，∴sinA=■，cosA=■.

由题意，cosB=■，得sinB=■，

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=■，

故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-■.

点评：应用向量的坐标表示和内积运算及两点间的距离公式，推导出两角和的余弦公式，比传统方法更加简洁明了、简单易懂，充分体现了向量的工具性.

五、向量与数学模型的关系

由于向量具有明显物理背景和几何特征，而且具有形式特征，这就为向量与某些数学模型发生了联系.如向量a=（x，y）的模等于■向量数量积的定义等都具有模型特征，所以只要具有类似特征的问题，都可以转化为向量问题来解决.

例5.已知a、b∈R+，a+b=1，求证：■+■≤2■.

证明：设m=（1，1），n=（■，■），

则m=■，n=■=2

由性质m·n≤m·n，得■+■≤2■

点评：本题利用■与向量模的结构上的类似而构造向量，然后利用向量数量积的模小于向量模的积来解决问题.向量不等式“m·n≤m·n”也是解决不等式的重要工具，是实现由等到不等的重要手段，在求最值中经常用到.由于向量具有双重特征，向量的表示方法多样，因而向量解决问题方法也多样.向量的应用应该不拘于几何特征和代数形式，从不同的角度抓住不同的特征得到不同的方法解决问题，可见异曲同工之妙.

参考文献：

[1]祈平.课标要求下向量及其教学的一些思考和建议[J].中学数学，2008（12）.

[2]耀世虎.从一道立体几何题谈向量的应用[J].教学文汇，2009（01）.

（作者单位 四川省绵阳外国语学校）

？誗编辑 司 楠