创设思维情境 展示思维过程

宋秀云

【摘 要】思维情境的创设、思维过程的展示是新课程数学教学的重头戏。教师应紧紧抓住教学中“概念形成”“公式推导”“解题”三个基本环节，根据每个环节中教学内容呈现和思维活动的特点，科学地、灵活地创设思维情境、展示思维过程，以达到在形成数学概念、培养数学能力中提升思维能力和思维品质的目的。

【关键词】数学教学 思维情境 思维过程 创设 展示 提升

“数学课程应注意提高学生的数学思维能力”，这是《普通高中数学课程标准》列出的十大课程目标之一。《课标》阐述道：“人们在学习数学和运用数学知识解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、演绎证明、反思与建构等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现。”可见，在高中数学教学中关注和研究思维过程及其教学措施，是高中数学教学的应有之义。

从另一个角度看，基础教育新课程将“过程与方法”列为课程教学的“三维”目标之一，也凸显了学习过程、思维过程在整个动态教学体系中的重要地位。

展示数学思维过程是数学课堂教学中的重要指导原则，通常称为过程性原则。真实的数学思维过程是知识的发生和形成过程，它包括概念的形成过程；问题被发现的过程；规律被揭示的过程；方法的探索、思考和形成过程；结论推导和证明过程。这些过程往往蕴含着数学的一些重要的思想方法。展示这些过程让学生细心体会与领悟，揭示出已知的知识与新知识之间的内部联系，往往是唤起学生学习兴趣的捷径，激发思维的源泉。因此，课前教师应根据过程性原则和“最近发展区”规律，围绕如何创设和再现知识的发生、发展和形成这个思维过程，创造性地设计教学程序。本文拟结合教学实际作一些探讨。

一、概念形成教学中思维情境的创设和思维过程的展示

数学中每个重要概念的引入与定义，几乎都历经观察、比较、分析、抽象、概括、创造等漫长过程，尽管教学中不可能完全重复前人漫长的探索过程，但若抓住方法的精神实质，精心组织、设计、创设和再现适当的思维过程，引导学生领悟形成概念的方法，就可以使多数学生在学习过程中处于兴奋状态，增强学生的内在活力，使学生成为自觉主动学习的主体。

现以“两条异面直线所成角”这一概念形成过程为例，作如下教学设计让学生展开思维。

1.演示模型，提出问题。

平面上两条相交直线可用它们所成的角的大小来描述，那么空间两条异面直线也可形成大小不同的“角”吗？如何寻找一个合适的量来刻画两条异面直线之间的倾斜程度呢？

2.逐步形成概念，创设如下过程。

（1）平面上两条直线相交就构成角，而两条异面直线不相交，哪来的“角”呢？如何规定两条异面直线所成的角呢？

（2）能用两条相交直线所成的角来确定两条异面直线所成的角吗？

3.启动思维，形成概念。

引导学生自主思考实现“降维”目的，预设学生可能得到下三种方案（如图1）：

方案一：作a′∥a且a′与b相交而得；

方案二：作b′∥b且b′与a相交而得；

方案三：在空间任取一点O′，作a′∥a、b′∥b、a′与b′相交而得。

图1

4.思维辨析，定义概念。

通过对三种方案的分析，异面直线a，b所成的角似乎有很多个了，究竟哪个是直线a，b所成的角呢？为什么？启发学生根据等角定理的推论，说明这些角都相等，这样作出的角都合理，且是唯一的。选方案三作为定义就水到渠成了。

5.分析概念，为形成“方法”作准备。

两条异面直线所成的角与角的顶点O的位置选取无关。运用时，可把点取在两条异面直线中的某一条上，要找到两条异面直线所成的角，关键是经过平移，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的锐角（或直角）来解决。

二、公式教学中思维情境的创设和思维过程的展示

数学公式的教学首先要使学生掌握公式的推导方法，而这个方法的思考过程，教材上通常会把它浓缩。在实际教学中教师应将思维过程给以展示，引导学生发现公式，揭示规律，并多角度探索思路给以证明。

例如等比数列的前n项和公式的推导，教材上采用错位相减法，即在和式的基础上乘以公比q（q≠1）后，两式相减达到消项求和。对此，学生往往不易想到，也是教学的难点。为突破这一难点，可开展如下思维过程。

先引导学生得出an=al+alq+alq2…+alqn-1……①

然后引导学生通过归纳，猜想出公式：

因为Sl=al，S2=a1（1+q），S3=a1（l+q+q2）=■（q≠1），进而得到S1=■，S2=■，S3=■，…于是猜想：Sn=■（q≠1）②

Sn=na1（q=1）③

如何证明这个公式呢？教师启发学生用分析法，欲证②式成立，只需证Sn（1-q）=a1（1-qn）成立。至此“错项相减”的思路已初见端倪，证明过程唾手可得。同时，也训练了学生运用归纳推理发现规律的重要数学思维方法。

∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-l

=a1+q（a1+a1q+a1q2+...+a1qn-2）

=a1+qSn-1

∴Sn=a1+q（Sn-an）

∴Sn（1-q）=a1-anq

若q≠1时，Sn=■=■

若q=l时，Sn=na1

通过思维过程的展示，学生尝试到探索过程的愉悦，对“错项相减法”的领悟得到提升。

三、解题教学中思维情境创设和思维过程的展示

在解题教学中，特别是一些思维性强、抽象程度高的习题，离学生现有思维水平较远，思维链条断裂，学生难以接受，实际教学中应创设一个新问题，使新问题的解决能为原问题的求解铺平道路，这样的新问题在解题理论中称为“中途点”，再由“中途点”导航，探索新的思维，逐步向解题目标靠拢。

例如在高一年级讲解：已知f（x）=lg（x2-2x+a）（a是实常数）的值域是R，求a的取值范围。对高一学生来说，往往受思维定势影响，误认为y=lg（x2-2x+a）的值域为R与x2-2x+a>0恒成立等价，为纠正这一错误思路，创设如下新问题，激发学生思维。

问题1：y=lgt，当t∈[0，10]时值域还是R吗？

问题2：函数y=lg（x2+2x+11）的值域能为R吗？为什么？

问题3：函数y=lg（x2+2x-3）的值域能为R吗？为什么？

学生通过对这三个问题的思考，问题2与3中两个函数类似，而其中一个值域能为R，另一个不能为R，原因在哪里呢？学生的思维结构产生碰撞，激发了求真探索的欲望，教师适时地给予点拨，这样通过创设新问题1、2、3，把思维过程给以展示，原问题的求解就变得轻而易举、唾手可得了。

从上述分析讨论中可以看到，思维情境的创设与思维过程的展示不但是疏通学生思维、有效解决具体教学课题的需要，更是培育和提升学生思维能力和思维品质的必要手段。因此，应当注意将思维过程的展示与提升灵活而有效地融入每一堂数学教学课中。

（作者单位：江苏省新海高级中学）