数学思想方法在高中数学教学中的运用

李兴江

摘 要： 数学思想方法教学是素质教育的重要组成部分。本文在论述了数学思想、数学方法及其相互关系的基础上，探讨了加强数学思想方法教学的意义，提出了在知识发生过程中渗透数学思想、在知识的总结过程中提炼数学思想、在问题解决过程中深化数学思想的教学策略。

关键词： 数学思想 数学方法 高中数学教学

数学思想是数学知识的灵魂与精髓。没有不包括数学思想的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想。《数学教学大纲》和《数学课程标准》把数学思想方法纳入基础知识的教学范围。通过近几年的高考，我们发现对数学思想方法的考查越来越多，也越来越受到教育工作者的重视。目前，研究数学思想方法的文献不少，但是在数学教学过程中，究竟如何强化数学思想方法教学，仍需进一步研究。本文在论述数学思想、数学方法及其相互关系和数学思想方法教学意义的基础上，着重探讨中学数学教学中强化数学思想方法教学的策略。

1.数学思想、数学方法及其相互关系

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。中学数学中，数学思想主要有数学符号与变元思想、集合与对应思想、数形结合思想、类比与归纳思想、化归思想等。数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略。数学方法分为两类：一类是理论形成的方法，如观察、实验、归纳、类比、一般化和特殊化等方法。另一类是解决实际问题的方法，如代入、消元、换元、降次、配方、待定系数、分析和综合等方法。数学方法是数学思想在数学认识活动中的具体反映和体现，是处理探索解决数学问题、实现数学思想的手段和工具。数学思想是数学方法的理论基础，是其精神的实质，它指导数学方法运用的方向。“数学思想”和“数学方法”常常联系在一起，一般来说，对于同一个数学成就，当人们用于解决问题时，称之为数学方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，称之为数学思想。

2.加强数学思想方法教学的意义

数学思想是对数学知识的本质认识，是从具体的数学知识中提炼出来的数学的灵魂与精髓。因而，它对于学生认知结构的完善，学习能力的提高，以及未来的全面发展都有着重要的意义。

2.1加强数学思想方法教学，有利于完善学生认知结构。

知识结构是数学内容及其各个组成部分的搭配和排列，对于我们的认知来说，它是外在之物。我们通过学习将它们转化为自己掌握的东西后，就变为内在之物——认知结构。数学认知结构是一种逻辑结构，主要是由数学基础知识及各知识点之间的相互关系所构成。学生学习新的数学知识，不仅取决于原数学认知结构中是否具有与新数学内容学习相关联的知识，而且取决于新、旧知识之间的联系、组织方式、结构排列的层次性，也就是我们所说的认知结构。数学思想方法是新旧知识之间联系的桥梁，它能够优化新、旧知识的组织方式，促进新、旧知识的融合，使学生的认知结构更加完善。

2.2加强数学思想方法教学，有利于提高学生学习能力。

美国心理学家布鲁纳认为：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理”。学习结构就是学习事物是怎样相互关联的，数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。懂得数学的基本原理，学生就更容易理解数学知识和内容，也就更容易记住这些知识和内容，从而提高学习效率，学习能力自然也就得到提高了。

2.3加强数学思想方法教学，有利于促进学生未来发展。

一位哲人说“即使是学生把教给他的所有知识都忘记了。但是还能使他获得受用终生的东西的那种教育，才是最高最好的教育”。无论学生将来从事什么职业，做什么样的工作，能直接运用学生时代所学的数学知识并不多，有些职业、有些工作很可能一点都用不到，但那些深深铭刻于学生头脑中的数学精神、思想、方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。有人做过一次统计：学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，使用数学的人占29%，基本不用或很少用数学的占70%。加强数学思想方法的教学，将数学知识真正建立在数学思想方法基础之上，用实用数学的思想方法指导学生掌握数学的核心内容，并且能让学生将知识和方法用于今后的工作和生活之中，这才是成功的教学。因此，加强学生数学思想方法的培养，是学生成长、发展的必然需求。

3.加强数学思想方法教学的策略

问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题都在于数学思想方法的建立与创新。因此，在数学教学中，我们要十分重视揭示在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴涵的数学思想方法。

4.1在知识的发生过程中渗透数学思想方法。

数学思想方法产生于数学知识，而数学知识又蕴藏数学思想。数学思想方法以内隐的方式，蕴涵于数学知识体系中。教师在教学中，要善于展示概念的形成过程、公式定理的探究过程、方法的思考过程，揭示蕴涵于知识体系中的数学思想方法，使学生领会这些数学思想方法，并在潜移默化中达到理解和掌握。渗透应遵循由感性到理性、由具体到抽象、由特殊到一般的原则，使认识过程返璞归真。让学生以探索者的姿态出现，在自觉的状态下，参与知识的形成和规律的揭示过程，领悟、运用、内化蕴涵于其中的数学思想和方法。比如在学习“公式法求一元二次方程的根”这一节时，我们在公式推导的过程中，从简单的方程入手，通过直接开平方根、配方法推导出求根公式。我们先带领学生解下面方程：

①x■-4=0，可以直接开平方，得到x=±2。

②（x-2）■=1，直接开平方，得到x-2=±1，从而得出：x■=1，x■=3。

此时引导学生归纳出：若方程的一边是完全平方式，另一边是一个非负数的平方，则可以直接开平方，解出方程的根。

③x■-4x+3=0

此时左边不是完全平方式，如何将左边转换成完全平方式，将它转化成我们熟悉的方程直接开平方求解呢？引出配方法，讲解它的一般步骤，并进行适当巩固练习。

④x■+px+2=0

⑤x■+px+q=0

⑥ax■+bx+c=0（a≠0）

在此过程中，引导学生逐步学会用字母代替数，领会数学符号思想。

在知识的形成阶段，不要把数学定理、性质、法则、公式、规律等结论都直接教给学生，这种灌输式的教学会让学生感到数学很难，很枯燥，甚至失去兴趣、失去信心。同时，教师在教学中不要呆板地在连接上找关联，探索、发现、推导这个过程本身就要求上下贯通、左右逢源，否则就会失去许多向学生渗透数学思想的大好时机。

4.2在知识的概括总结过程中提炼数学思想方法。

数学知识贯穿在整个中学数学教材的知识点中，有些数学思想方法在知识点中直接体现出来了，有些却蕴含在数学知识中。要使学生把这些数学思想方法都转化为自己的观点，并运用它们解决问题，就需要教师在总结概括的时候，把各种知识所蕴涵的数学思想方法有意识地提炼出来，并有目的、有步骤地引导学生参与数学思想方法的提炼概括过程，增强他们对数学思想方法的应用意识，从而提高他们独立分析、解决问题的能力。

（1）同一章节可能蕴含多种数学思想方法。如“直线和圆的方程”这一章就蕴含数形结合思想、化归与转换思想、归纳与类比思想等。具体分析如下：

①在求直线方程时，由多种直线方程的特殊式总结出一般式，蕴含归纳的思想方法。

②在求直线斜率时，要将图形与具体数值相结合，蕴含数形结合的思想方法。

③在求直线和直线的交点时，要将两方程联立转化成二元一次方程组，蕴含代入、转换的思想方法。

（2）同一数学思想方法也可能隐藏在不同的章节之中。例如“数形结合的思想”在“直线和圆的方程”、“不等式的解法”、“函数最值”、“集合”、“三角函数”等章节中都有所体现。

不管是同一章节蕴含多种数学思想方法，还是同一数学思想方法蕴含在不同的章节之中。教师在总结概括的时候，都要把这些思想方法提炼出来，让学生进一步理解这些数学思想方法。

4.3在问题解决过程中，深化数学思想方法。

受应试教育的影响，不少教师在教学中只注重一些具体技能和方法的训练，教给学生的僵死的知识和解题模式，结果导致许多学生只能停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍作改变就不知所措，所以教师不仅要教给学生解题的技巧，还要暴露思考问题的过程，揭示蕴涵于其中的数学思想方法，并使学生掌握这些数学思想方法，这就是授之以“渔”比授之以“鱼”更重要的道理。只有这样，学生将来再遇到类似问题时，才可以将所掌握的一般原理运用到实际问题的解决中。

另外，解题不是我们的最终目的。解题后，教师应引导学生进一步回顾解题的过程，概括蕴含于解题过程中的数学思想方法，进一步提高学生对数学思想方法的理解和认识，达到深化数学思想方法的目的。

例：设n是大于2的正整数，求证所有小于n且与n互质的正整数的立方和能被n整除。（第51届国际数学奥林匹克竞赛试题）

分析：①最容易想到的方法是先求出所有小于n且与n互质的正整数的立方和，再证明这个立方和能被n整除。但求这个立方和绝非易事。②把题目变得容易一点，“设n是大于2的正整数，求证：所有小于n且与n互质的正整数的和能被n整除。”如果还有困难，则变得再容易一点，将n指定为质数101，这时一定不会有困难了。因为小于101且与101互质的正整数有1，2，…，100，它们的和高斯早已解决了，是5050，恰好是101的整数倍。高斯解法的精髓是“配对”思想。他将这100个数配成了50对，即1和100、2和99，…，50和51，每一对的和都是101，都是101的整数倍。小于n且与n互质的正整数能够如此配对吗？设a是小于n且与n互质的正整数，即（n，a）=1，由简单的数论知识即可知道，（n，n-a）=1，于是n-a也是小于n且与n互质的正整数。可见，小于n且与n互质的正整数是成对出现的，而a+（n-a）=n，能被n整除。会出现无法配对的“中间数”吗？不会，否则a=n-a，即n=2a，与（n，a）=1矛盾。所以，小于n且与n互质的正整数的和能被n整除。至此，学生已容易发现a■+（n-a）■=n■-3an■+3a■n=n（n■-3an+3a■），也是n的整数倍，所以小于n且与n互质的正整数的立方和能被n整除。

上述过程，从失败到成功，每一步都非常自然，学生从中不仅可以获得解题的方法，而且可以体会到数学思想在解题过程中的重要作用。上述过程中包含了丰富的化归与转化思想、特殊化思想，以及不知名的“配对”思想，这些数学思想在问题解决过程中得到了活化，对学生日后的解题活动具有重要的指导作用。最后，在实际操作中任何一种数学思想方法的学习和掌握，绝非一朝一夕的事，也不是靠讲几节专题课所能奏效的。它需要师生要共同努力，长时间渗透，逐级递进，不断深化，有意识、有目的地培养。数学思想一旦在头脑中形成了理念，数学能力及素养必将得到升华。